Eine orientierungstreue Bewegung besitzt Fixpunkt

07.06.2010, 13:47	Freesie	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine orientierungstreue Bewegung besitzt Fixpunkt Hallo Leute! Ich habe noch Probleme beim Beweis des folgenden Satzes und ich hoffe ihr könnt mir helfen. Satz: Ist $\begin{eqnarray} $f:\mathbb R^2 \mapsto \mathbb R^2 , f \neq Id$ \end{eqnarray}$ , eine orientierungstreue Bewegung, welche keine Translation ist, dann hat f einen Fixpunkt. Ich weiß: $\begin{eqnarray} f(x) = Tx+a\ \text{mit} \ T \in O^+(2), T \neq E \end{eqnarray}$ Ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray} E-T \end{eqnarray}$ invertierbar ist und das daraus folgt, dass $\begin{eqnarray} p:=(E-T)^{-1}a \end{eqnarray}$ ein Fixpunkt von f ist. Wenn ich die Determinante von $\begin{eqnarray} E-T \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} T = \begin{pmatrix} \cos \alpha& -\sin \alpha \\ \sin \alpha& \cos \alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ errechne kommt heraus, dass $\begin{eqnarray} det (T-E) = 2\cdot(1-\cos(\alpha))\neq 0 \end{eqnarray}$ ist. Damit ist ja bewiesen, dass $\begin{eqnarray} E-T \end{eqnarray}$ invertierbar ist. Wie komme ich jetzt aber darauf, dass $\begin{eqnarray} p:=(E-T)^{-1}a \end{eqnarray}$ ein Fixpunkt von f ist ? Ich vertehe noch nicht ganz so den Zusammenhang dazwischen und wäre für jede Hilfe dankbar!
07.06.2010, 15:29	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eine orientierungstreue Bewegung besitzt Fixpunkt Für einen Fixpunkt p gilt: f(p) = Tp + a = p, also Tp + a = Ep, a = Ep - Tp, a = (E-T)p und somit $\begin{eqnarray} p:=(E-T)^{-1}a \end{eqnarray}$
07.06.2010, 15:51	Freesie	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eine orientierungstreue Bewegung besitzt Fixpunkt Danke schön, jetzt ergibt es einen Sinn für mich!

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