Totales Differential der Kugelkoordinaten

07.06.2010, 14:22	Graf_Love	Auf diesen Beitrag antworten »
Totales Differential der Kugelkoordinaten Hi, gegeben ist folgende Kurve (Oder ist es doch eine Funktion?) (Kugel): $\begin{eqnarray} f(r, \alpha, \beta) = (rcos(\alpha)cos(\beta), rsin(\alpha)cos(\beta), rsin(\beta)) \end{eqnarray}$ Von dieser soll nun das totale Differential gebildet werden - wie geht das? Ich habe nun schon alles gehört, von jede einzelne Koordinate als Funktion einzeln nehmen und von ihr das totale Differential bilden, was ja dann $\begin{eqnarray} Df = (cos(\alpha)cos(\beta)+(r(-sin(\alpha))cos(\beta)) + (rcos(\alpha)(-sin(\beta)), sin(\alpha)cos(\beta)+(rcos(\alpha)cos(\beta)) + (rsin(\alpha)(-sin(\beta)), sin(\beta) + 0 + rcos(\beta)) \end{eqnarray}$ (oder nicht?) bis hin zu alle Koordinaten von f nach dem i-ten Argument partiell abzuleiten und das ganze zu einer Zahl zu addieren oder alle Koordinaten von f nach dem i-ten Argument abzuleiten und anschließend noch einmal jede der entstandenen 3 Koordinaten nach alle 3 Argumenten abzuleiten und diese Ableitungen aufzuaddieren, so dass die erste Koordinate = $\begin{eqnarray} \frac{d²f}{d²r} + \frac{d²f}{drd\alpha} +\frac{d²f}{drd\beta} \end{eqnarray}$ wäre. Erstere Variante erscheint mir am sinnvollsten - ist sie richtig? lg
07.06.2010, 14:35	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das ist eine Funktion $\begin{eqnarray} f: \mathbb R^3\to\mathbb R^3 \end{eqnarray}$ und ihr Differential ist daher eine 3x3-Matrix. Du hast dass die Funktion aus drei Komponenten besteht, $\begin{eqnarray} f_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_3 \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} Df=\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial r} & \frac{\partial f_1}{\partial \alpha} & \frac{\partial f_1}{\partial \beta} \\ \frac{\partial f_2}{\partial r} & \frac{\partial f_2}{\partial \alpha} & \frac{\partial f_2}{\partial \beta} \\ \frac{\partial f_3}{\partial r} & \frac{\partial f_3}{\partial \alpha} & \frac{\partial f_3}{\partial \beta}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ .
07.06.2010, 14:44	Graf_Love	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank!

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