Restgliedabschätzung Taylor

07.06.2010, 14:58

Physinetz

Restgliedabschätzung Taylor

Hallo,

habe folgende Aufgabe: Untersuchen Sie für die Funktion
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R -->\left[\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right]: x--> arctan(x) \end{eqnarray*}$

das Resglied $\begin{eqnarray*} R_3(f,x,o) \end{eqnarray*}$ um eine Schranke für den Fehler $\begin{eqnarray*} | f(0.1)-T_3(f,0.1,0) | \end{eqnarray*}$ zu erhalten.

Also den Taylorwert für arctan 0.1 habe ich berechnet. Nun soll ich ja dazu den Fehler finden.
Habe mich mal im Forum umgeschaut und bin uch auf 2 Ansätze gestoßen.

a) Einmal über Lagrange:

$\begin{eqnarray*} R_3(0,1)=\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!} * (0,1)^4 \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ nimmt ja immer den maximalen Wert an, hier beim Entwicklungspunkt 0 wäre er ja 0,1-0 also 0,1, folglich müsste es sein:

$\begin{eqnarray*} R_3(0,1)=\frac{f^{(4)}(0,1)}{4!} * (0,1)^4 \end{eqnarray*}$

Ausgerechnet käme ich auf einen Fehler von ungefähr 2,32. Das heißt meine obere Fehlerschranke wäre 2,32 + 0,1 ? Oder habe ich mich verrechnet bzw. ist mein Rechenweg falsch? Weil der Fehler ist ja eigentlich minimal, wenn man es über Taylor ausrechnet und mit dem wahren Wert für arctan(0.1) vergleicht?

b) Bei Wikipedia habe ich unter Restgliedabschätzung

noch einen anderen Rechenweg entdeckt, was wird hier anders gemacht? Ein Mitglied vom Matheboard berechnet den Fehler mit der Formel von Wikipedia, analog würde ich dann erhalten:
$\begin{eqnarray*} | R_3(x) | \leq \frac{0,1^4}{4!} \end{eqnarray*}$

Für was steht denn das $\begin{eqnarray*} M_n \end{eqnarray*}$ bei Wikipedia?

Vielleicht wäre jemand so nett und würde mir erklären wo in den beiden Berechnungen der Unterschied liegt, und wie es richtig funktioniert.

Vielen Dank und schönen Montag noch Wink

Gruß Physi

07.06.2010, 15:39

Physinetz

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Achso habe mich bei a) vertan, habe da bei der Restgliedberechnung, falls diese stimmt einen Wert von $\begin{eqnarray*} 19/2000000 \end{eqnarray*}$ heraus.

Stimmt das? Und dann eben noch wo ist der Unterschied zur Variante in b) ?

07.06.2010, 16:41

system-agent

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Das $\begin{eqnarray*} M_n \end{eqnarray*}$ soll eine Schranke für die n+1 - te Ableitung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sein, steht eine Zeile darüber.

Wie du sagst ist der Fehler gegeben als
$\begin{eqnarray*} | f(0.1)-T_3(f,0.1,0) | \end{eqnarray*}$

und dieses ist nach dem Taylor-Satz gerade der Betrag des Restgliedes, in irgendeiner Darstellung, dh
$\begin{eqnarray*} | f(0.1)-T_3(f,0.1,0) | =|R_3(x)| \end{eqnarray*}$ .

Nun kannst du, wie schon gesagt, das Restglied in Lagrange-Form nutzen:
$\begin{eqnarray*} R_3(x)=\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}(x-0)^4 \end{eqnarray*}$
für ein $\begin{eqnarray*} \xi\in[0,x] \end{eqnarray*}$ .

Nun berechne eben $\begin{eqnarray*} f^{(4)} \end{eqnarray*}$ , setze das mit einem allgemeinen $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ ein. Dann bemerke, dass $\begin{eqnarray*} x\in\left[\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right] \end{eqnarray*}$ .

Nun versuche abzuschätzen wie gross $\begin{eqnarray*} |R_3(x)| \end{eqnarray*}$ für diese $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ maximal werden kann.

07.06.2010, 17:41

Physinetz

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Danke für deine Hilfe schonmal, super!

Noch eine Frage, du meintest:

Zitat:

Original von system-agent

Nun berechne eben $\begin{eqnarray*} f^{(4)} \end{eqnarray*}$ , setze das mit einem allgemeinen $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ ein. Dann bemerke, dass $\begin{eqnarray*} x\in\left[\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right] \end{eqnarray*}$ .

Nun versuche abzuschätzen wie gross $\begin{eqnarray*} |R_3(x)| \end{eqnarray*}$ für diese $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ maximal werden kann.

Also das mit dem allgemeinen $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\in\left[\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right] \end{eqnarray*}$ brauche ich ja nur, wenn ich den maximalen Fehler in dem angegebenen Intervall herausfinden soll?

Um aber den Fehler bei 0.1 herauszufinden reicht es doch, einfach für $\begin{eqnarray*} \xi=0.1 \end{eqnarray*}$ zu setzen oder?

07.06.2010, 23:07

Physinetz

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Könnte mir nochmal jemand schnell helfen? Dankeschön

07.06.2010, 23:36

system-agent

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Nein das reicht nicht. Wenn du dir den Satz über das Lagrange-Restglied genau ansiehst, dann wirst du feststellen dass er etwas sagt wie:
Für jedes zulässige $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} \xi\in[x_0,x] \end{eqnarray*}$ [mit $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ der Entwicklungspunkt] so, dass.... und dann kommt die Formel.

Das bedeutet das $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ ist abhängig wo das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist.

Aber du sollst hier doch auch genau den Fehler abschätzen, das heisst eine Schranke für den Fehler angeben.

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