Binomischer Lehrsatz*

01.11.2006, 12:07

Masti

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Binomischer Lehrsatz*

Hallo an alle,

die folgende Aufgabe bereitet mir einiges an Kopfzerbrechen...

Der Binomische Lehrsatz soll auf $\begin{eqnarray*} 1+-1)^n \end{eqnarray*}$ angewendet werden. Was folgt darauf für die folgenden (Teil)-Summen der Binominalkoeffizienten:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ 0 \\ \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} n \\ 2 \\ \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} n \\ 4 \\ \end{pmatrix} +... bzw. \begin{pmatrix} n \\ 1 \\ \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} n \\ 3 \\ \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} n \\ 5 \\ \end{pmatrix} +....? \end{eqnarray*}$

damit ich evt. darauf komme habe ich einfach mal $\begin{eqnarray*} (1+1)^4(=16) \end{eqnarray*}$ gerechnet:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n~ \begin{pmatrix} n \\ i \\ \end{pmatrix} a^{n-i}b^i= \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^4~ \begin{pmatrix} 4 \\ i \\ \end{pmatrix} 1^{4-i}1^i=\begin{pmatrix} 4\\ 0 \\ \end{pmatrix}1^4 \cdot 1^0+\begin{pmatrix} 4\\ 1 \\ \end{pmatrix}1^3 \cdot 1^1+\begin{pmatrix} 4\\ 2 \\ \end{pmatrix}1^2 \cdot 1^2+\begin{pmatrix} 4\\ 3 \\ \end{pmatrix}1^1 \cdot 1^3+\begin{pmatrix} 4\\ 4 \\ \end{pmatrix}1^0 \cdot 1^4=16 \end{eqnarray*}$

wenn ich das ausrechne habe ich ja:

= $\begin{eqnarray*} =(1\cdot 1^4\cdot1)+(4\cdot 1^3\cdot 1^1)+6\cdot 1^2\cdot1^2)+(4\cdot 1^1\cdot 1^3)+(1\cdot 1^0\cdot 1^4)=16 \end{eqnarray*}$

das erinnert mich an das pascalsche Dreieck aber mehr auch nicht?! geschockt

geschockt

gut bei $\begin{eqnarray*} (1+1)^4 \end{eqnarray*}$ könnte man theoretisch einfach rechnen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^4~ \begin{pmatrix} 4 \\ i \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\ 0 \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4\\ 1 \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4\\ 2 \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4\\ 3 \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4\\ 4 \\ \end{pmatrix}=16 \end{eqnarray*}$

sich also bei der Summe: $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n~ \begin{pmatrix} n \\ i \\ \end{pmatrix} a^{n-i}b^i= \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} a^{n-i}b^i \end{eqnarray*}$ sparen oder???

ich verstehe nicht ganz was diese aufgabe von mir will Hammer

Hammer

01.11.2006, 12:33

tigerbine

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RE: Binomischer Lehrsatz*
auf was soll jetzt der Satz angewendet werden? und warum sollte ich $\begin{eqnarray*} (1+1)^n = 2^n \end{eqnarray*}$ durch die Binomialkoeffizienten schreiben wollen?

01.11.2006, 12:51

klarsoweit

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RE: Binomischer Lehrsatz*

Zitat:

Original von Masti
Der Binomische Lehrsatz soll auf $\begin{eqnarray*} 1+-1)^n \end{eqnarray*}$ angewendet werden. Was folgt darauf für die folgenden (Teil)-Summen der Binominalkoeffizienten:

Auf was jetzt? Auf $\begin{eqnarray*} (1+1)^n \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (1+(-1))^n \end{eqnarray*}$ ?
Wie dem auch sei: setze die richtigen Werte für a und b in $\begin{eqnarray*} (a + b)^n = \sum_{k=0}^n~{n \choose k} \cdot a^{n-k} \cdot b^k \end{eqnarray*}$
ein.

01.11.2006, 14:12

Dual Space

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Zitat:

Original von tigerbine
und warum sollte ich $\begin{eqnarray*} (1+1)^n = 2^n \end{eqnarray*}$ durch die Binomialkoeffizienten schreiben wollen?

Das kann bei einigen Sachen recht sinnvoll sein, z.B. beim Beweis, dass die Zahlenfolge $\begin{eqnarray*} \left(\frac{n^4}{2^n}\right) \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.11.2006, 14:13

Masti

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In der Aufgabe steht halt $\begin{eqnarray*} (1\pm1)^n \end{eqnarray*}$

ich nehme jetzt eben mal $\begin{eqnarray*} (1+1)^n \end{eqnarray*}$

darauf soll ich den binomischen Lehrsatz anwenden und schauen was daraus für die folgenden (Teil)-Summen der Binominalkoeffizienten gilt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ 0 \\ \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} n \\ 2 \\ \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} n \\ 4 \\ \end{pmatrix} +... bzw. \begin{pmatrix} n \\ 1 \\ \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} n \\ 3 \\ \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} n \\ 5 \\ \end{pmatrix} +....? \end{eqnarray*}$

ich nehme jetzt eben mal $\begin{eqnarray*} (1+1)^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n~ \begin{pmatrix} n \\ i \\ \end{pmatrix} 1^{n-i}1^i=\begin{pmatrix} n\\ 0 \\ \end{pmatrix}1^{n-0} \cdot 1^0+\begin{pmatrix} n\\ 1 \\ \end{pmatrix}1^{n-1} \cdot 1^1+\begin{pmatrix} n\\ 2 \\ \end{pmatrix}1^{n-2} \cdot 1^2+\begin{pmatrix} n\\ 3 \\ \end{pmatrix}1^{n-3} \cdot 1^3+\begin{pmatrix} n\\ 4 \\ \end{pmatrix}1^0 \cdot 1^4 \end{eqnarray*}$

gut aber nun verstehe ich immer noch nciht was ich eigentlich zeigen muss oder daraus sehen sollte??

danke erstmal für eure mühen!

mfg
masti

01.11.2006, 14:16

Dual Space

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Bedenke, dass $\begin{eqnarray*} 1^n=1 \end{eqnarray*}$ (insbesondere) für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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01.11.2006, 14:23

klarsoweit

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Zitat:

Original von Masti
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n~ \begin{pmatrix} n \\ i \\ \end{pmatrix} 1^{n-i}1^i=\begin{pmatrix} n\\ 0 \\ \end{pmatrix}1^{n-0} \cdot 1^0+\begin{pmatrix} n\\ 1 \\ \end{pmatrix}1^{n-1} \cdot 1^1+\begin{pmatrix} n\\ 2 \\ \end{pmatrix}1^{n-2} \cdot 1^2+\begin{pmatrix} n\\ 3 \\ \end{pmatrix}1^{n-3} \cdot 1^3+\begin{pmatrix} n\\ 4 \\ \end{pmatrix}1^0 \cdot 1^4 \end{eqnarray*}$

Laß doch mal das Auseinandeerziehen des Summen-Symbols in die einzelnen Summanden sein. Es ist eben
$\begin{eqnarray*} (1 + 1)^n = \sum_{i=0}^n~ {n\choose i} 1^{n-i}1^i \end{eqnarray*}$

Jetzt überlege mal, was 1+1 ergibt und die Potenzen mit 1 als basis. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.11.2006, 15:46

Masti

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1+1= öhm also 2? smile

smile

und $\begin{eqnarray*} 1^n=immer 1 \end{eqnarray*}$

also kann ich mir das $\begin{eqnarray*} 1^n 1^i \end{eqnarray*}$ sparen

$\begin{eqnarray*} (2)^n = \sum_{i=0}^n~ {n\choose i} \end{eqnarray*}$

oder auf welche fährte wollt ihr mich führen?

01.11.2006, 15:49

Dual Space

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Zitat:

Original von Masti
$\begin{eqnarray*} (2)^n = \sum_{i=0}^n~ {n\choose i} \end{eqnarray*}$

oder auf welche fährte wollt ihr mich führen?

Genau darauf! Freude

Freude

Jetzt weißt du also welchen Wert die obige Summe hat. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.11.2006, 15:55

Masti

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also ist das die Folge für meine Binominalkoeffizienten oder?

zur erinnerung die aufgabe war ja

Der Binomische Lehrsatz soll auf $\begin{eqnarray*} (1\pm1) \end{eqnarray*}$ angewendet werden. Was folgt darauf für die folgenden (Teil)-Summen der Binominalkoeffizienten:

und für die folgenden Teilfolgen folgt das: also das ergebnis is:

$\begin{eqnarray*} (2)^n = \sum_{i=0}^n~ {n\choose i} \end{eqnarray*}$

oder ?

wenn ja bleibt ja noch die frage was für $\begin{eqnarray*} (1-1)^n \end{eqnarray*}$ für die teilsumme folgt...

01.11.2006, 15:57

Dual Space

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Zitat:

Original von Masti
wenn ja bleibt ja noch die frage was für $\begin{eqnarray*} (1-1)^n \end{eqnarray*}$ für die teilsumme folgt...

Na dann ran ans Werk. Wende halt den Binom. Lehrsatz auf (1-1)^n an.

01.11.2006, 16:14

Masti

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öhmm ja gut $\begin{eqnarray*} 0^n = ist eben immer 0 \end{eqnarray*}$

also so :

$\begin{eqnarray*} (2)^n = \sum_{i=0}^n~ {n\choose i}0 \end{eqnarray*}$

oder ?

01.11.2006, 16:15

masti

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meinte natürlich:

$\begin{eqnarray*} (0)^n = \sum_{i=0}^n~ {n\choose i}0 \end{eqnarray*}$

01.11.2006, 16:16

Lazarus

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ja ne, du musst ja des 1 und -1 mit reinbringen. $\begin{eqnarray*} (0)^n = \sum_{i=0}^n~ {n\choose i}\left(-1\right)^i\cdot 1^{n-i} \end{eqnarray*}$

01.11.2006, 16:25

beachboy

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hmm aber für

$\begin{eqnarray*} (0)^n \end{eqnarray*}$

muss ja die Summe null ergeben

und so:

$\begin{eqnarray*} (0)^n = \sum_{i=0}^n~ {n\choose i}\left(-1\right)^i\cdot 1^{n-i} \end{eqnarray*}$ ist die ja nicht null???

EDIT: latex korrigiert (klarsoweit)

01.11.2006, 16:27

Lazarus

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nicht ?

01.11.2006, 16:33

beachboy

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habe mal das hier als bsp

für i=2 ist ja $\begin{eqnarray*} (-1)^2=1 \end{eqnarray*}$

also bsp.

$\begin{eqnarray*} (0)^4 = \sum_{i=2}^4~ {4\choose i}\left(-1\right)^2\cdot 1^{4-2} \end{eqnarray*}$ das is doch wirklich nicht null !?

01.11.2006, 16:43

Lazarus

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ähm .. die summe muss bei 0 anfangen. symetriegründe...
sonst kommt natürlich quatsch raus.

01.11.2006, 17:14

Masti

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$\begin{eqnarray*} (0)^3\sum_{i=0}^3~ \begin{pmatrix} 3 \\ i \\ \end{pmatrix} (-1)^{i}(1)^{3-0}=\begin{pmatrix} 3\\ 0 \\ \end{pmatrix}(-1)^0 \cdot 1^{3-0}+\begin{pmatrix} 3\\ 1 \\ \end{pmatrix}(-1)^1 \cdot 1^{3-1}+\begin{pmatrix} 3\\ 2 \\ \end{pmatrix}(-1)^2 \cdot 1^{3-2}+\begin{pmatrix} 3\\ 3 \\ \end{pmatrix}(-1)^3 \cdot 1^{3-3}=1-3+3-1=0 \end{eqnarray*}$

so habs jetzt ausführlich gemacht, dass jeder sieht, dass es 0 ist ;-)

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