Beweis der stationären Verteilung

Neue Frage »

FrReShY Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis der stationären Verteilung
Hallo

Ich stecke bei folgendem Problem fest.

Aufgabe

Zeigen Sie, dass für jede Eingangsverteilung (Vektor) x die Ausgangsverteilung U* (Vektor) x eine stationäre Verteilung ist.

Ich weiss nicht wie ich dies beweisen soll. Mir ist bekannt dass die Spantelnsumme 1 ist und es sich um eine quadratische Matrix beim Austauschprozess handelt, aber ich komme nicht dadrauf wie man dies Beweisen kann.
Kann mir jemand mit dem Ansatz weiterhelfen ?
Danke im Voraus.
Hatte evtl an ein GS gedacht mit einer Nebenbedingung, dass die Variablen aus den Spalten = 1 gelten muss oder so.

Danke im Voraus.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der stationären Verteilung
*Verschoben*

Klingt mir nach Stochastik auf Hochschulniveau.
FrReShY Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin im Mathe LK der 13. Jahrgangsstufe.

Kann mir jemand weiterhelfen ?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Du fällst mir irgendwie mit der Tür ins Haus. Also mal ganz langsam, Stein auf Stein:

Deinen Ausführungen entnehme ich, dass es vermutlich um eine homogene Markov-Kette mit endlichem Zustandsraum geht. Mit ist dann sicher die Übergangsmatrix gemeint.

Was die Aussage

Zitat:
Original von FrReShY
Zeigen Sie, dass für jede Eingangsverteilung (Vektor) x die Ausgangsverteilung U* (Vektor) x eine stationäre Verteilung ist.

soll, verstehe ich aber trotzdem nicht, denn das ist falsch.

Vielleicht meinst du es aber so:

Zitat:
Jede Anfangsverteilung , die Lösung des Gleichungssystems ist, ist eine stationäre Verteilung der Markovkette.

Dann wird ein Schuh draus!
FrReShY Auf diesen Beitrag antworten »

kann gut sein dass das das richtige ist.
also wir sind grade bei dem thema matrizen und beschäftigen und grade mit austauschprozessen.
ein solcher prozess wäre z.B. :
es gibt 3 Baumärkte A,B,C von a wechseln 0.2 nach C und 0.3 nach B und 0.5 bleiben in A bein nächsten Einkauf.

Somit lässt sich eine Matrix mit 3 Zeilen und 3 Spalten erstellen.
Anschlißened haben wir stationäre Verteilungen dieser Anteile berechnet mit der Nebenbedingung, dass x1+x2+x3=1 ist.
Die Eingangsverteilung ist in allen Spalten 1 und die Ausgangsverteilung muss dem zu Folge auch 1 sein weil es ein Austauschprozess ist.
Und das müssen wir nachweisen meine ich.
Also die Anteilverhältnisse gesehen in der Spalte addiert ergeben anfangs 1 und nach dem 1. Tag bzw. Monat oder so auch 1 nur mit einer anderen Anteilverhältnis, dass sich ja notwendiger Weise nach den Werten ändern muss.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, du willst nur nachweisen, dass für eine Verteilung (d.h. Vektor aus nichtnegativen Zahlen mit Summe 1) der Vektor auch wieder eine Verteilung darstellt! Das Wörtchen "stationär", was du oben leichtsinnigerweise eingefügt hast, stellt nämlich einen völlig anderen Sachverhalt dar!

Bei diesem Nachweis hier brauchst du nur die Eigenschaft, dass die Spaltensummen in jeweils 1 sind, und dann betrachtest du mal das Produkt aus Matrix und Vektor:



Alle diese n Komponenten rechts sind erkennbar nichtnegativ. Was bleibt ist der Nachweis, dass deren Summe auch 1 ist. Also betrachte die Summe



Da kannst du jetzt die Summation von und vertauschen und anschließend die Voraussetzung



für die Spaltensummen sowie die Eigenschaft



der Eingangsverteilung nutzen.
 
 
FrReShY Auf diesen Beitrag antworten »

woow danke sehr.

was mich stört ist nur die schreibweise muss das mal auf meine art runterschreiben =)

nochmals vielen dank.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »