Abstand zwischen Gerade und Kreislinie (3D)

Neue Frage »

Peeder Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand zwischen Gerade und Kreislinie (3D)
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich suche grundlegend den minimalen Abstand zwischen einer Gerade und einem Kreisring im dreidimensionalen Raum.

Meine Ideen:
Grundsätzlich zuerst die Definitionen:
- Die Gerade: (1)
- Der Kreisring: (2) , wobei hier der Aufpunkt, der Radius, und Einheitsvektoren in der Ebene, in der der Kreis liegt, sind. ist der Umlaufwinkel. Es ist noch zu erwähnen, dass und mit dem Normalenvektor der Ebene, in der der Kreis liegt, ein Orthonormalsytem bilden.

Jetzt habe ich auf der folgenden Seite das hier gefunden:
http://mathforum.org/library/drmath/view/51730.html
Kurz gesagt, hier wird behauptet, dass man aus dem Mittelpunkt des Kreises und der Gerade eine Hilfsebene erstellen soll. Der Schnittpunkt dieser Ebene mit dem Kreisring ermittelt den Punkt auf dem Ring mit dem nähesten Abstand zur Gerade.

Die in diesem Link erwähnte "Hilfsebene" erhalte ich ich aus dem Mittelpunkt und der Geradengleichung:
(3)

Es geht mir prinzipiell um 2 Aussagen:
1.) Stimmt das, was auf der Homepage oben gesagt wird überhaupt. Ich habe relativ viel gesucht, aber keine ähnliche Aussage gefunden?
2.) Kann ich nun die beiden Gleichungen (2) und (3) einfach gleichsetzten und erhalte daraus die Lösungen für , und ? Ich hätte ja drei Gleichungen für drei unbekannte...

Ich will jetzt zunächst einfach einmal die Sonderfälle, wie Gerade parallel zu der Ebene der Gerade o.ä. außen vor lassen. Mir geht es erst einmal darum, ob das ganze so machbar ist.
Vielen Dank!

Gruß P.
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand zwischen Gerade und Kreislinie (3D)
Die Methode auf dem Link muss ich mir erst ansehen, aber ich hätte da einen Ansatz, der mir einfacher erscheint (wenn ich nicht etwas überlesen habe):

M=Kreismittelpunkt

Die Ebene, in der der Kreis liegt, mit der Geraden schneiden --> Schnittpunkt S.
Der Betrag des Vektors MS minus Radius ist der gesuchte Abstand.

verwirrt Naja, vielleicht hat ein Spezialist einen kürzeren Weg.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand zwischen Gerade und Kreislinie (3D)
ich vermute du bastelst die falsche ebene, den link habe ich nicht angeschaut.

aber ich denke, du sollst E mit dem mittelpunkt M des kreises und dem richtungsvektor der geraden als NORMALENvektor basteln.
geschnitten mit K bekommst du 2punkte, deren einer der gesuchte ist Augenzwinkern
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand zwischen Gerade und Kreislinie (3D)
ich habe mir nun den link angeschaut.
da steht tatsächlich, was du oben zitiert hast.
das ist meiner meinung nach falsch.

mit meiner idee kommst du auf das hübsche ergebnis



und das stimmt zumindest in 2D, was die variante "link" nicht tut Augenzwinkern
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand zwischen Gerade und Kreislinie (3D)
Zitat:
Original von Gualtiero
Die Methode auf dem Link muss ich mir erst ansehen, aber ich hätte da einen Ansatz, der mir einfacher erscheint (wenn ich nicht etwas überlesen habe):

M=Kreismittelpunkt

Die Ebene, in der der Kreis liegt, mit der Geraden schneiden --> Schnittpunkt S.
Der Betrag des Vektors MS minus Radius ist der gesuchte Abstand.

verwirrt Naja, vielleicht hat ein Spezialist einen kürzeren Weg.


wahr oder falsch verwirrt
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand zwischen Gerade und Kreislinie (3D)
Zitat:
Original von riwe
ich habe mir nun den link angeschaut.
da steht tatsächlich, was du oben zitiert hast.
das ist meiner meinung nach falsch.

Wenn die Gerade in der Ebene des Kreises liegt, stimmt der Link sicher nicht. Dann 'schneidet' diese Ebene ja den Kreis in allen Kreispunkten. Wenn sie aber nicht in der Ebene des Kreises liegt, passt der Link meiner Meinung nach.

Mehr anschaulich als analytisch sehe ich die Begründung so:
Um von einem beliebigen Punkt des Kreis den kürzesten Abstand zu der Geraden zu finden, fällt man von dem Punkt das Lot auf die Gerade. Die Gerade und das Lot definieren eine Ebene. Wenn diese Ebene nicht durch Kreismittelpunkt geht, dreht man sie um die Gerade. Je nach Drehrichtung wird dabei der Abstand dieser Ebene zum Kreismittelpunkt größer oder kleiner. Wenn man sie so dreht, dass der Abstand zum Kreismittelpunkt kleiner wird, rückt auch einer ihrer Schnittpunkt mit dem Kreis näher an die Gerade heran. Der andere Schnittpunkt entfernt sich von der Geraden. Also hat man ein Minimum, wenn die Ebene durch den Kreismittelpunkt geht.
 
 
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand zwischen Gerade und Kreislinie (3D)
Zitat:
Original von Huggy
Zitat:
Original von riwe
ich habe mir nun den link angeschaut.
da steht tatsächlich, was du oben zitiert hast.
das ist meiner meinung nach falsch.

Wenn die Gerade in der Ebene des Kreises liegt, stimmt der Link sicher nicht. Dann 'schneidet' diese Ebene ja den Kreis in allen Kreispunkten. Wenn sie aber nicht in der Ebene des Kreises liegt, passt der Link meiner Meinung nach.

Mehr anschaulich als analytisch sehe ich die Begründung so:
Um von einem beliebigen Punkt des Kreis den kürzesten Abstand zu der Geraden zu finden, fällt man von dem Punkt das Lot auf die Gerade. Die Gerade und das Lot definieren eine Ebene. Wenn diese Ebene nicht durch Kreismittelpunkt geht, dreht man sie um die Gerade. Je nach Drehrichtung wird dabei der Abstand dieser Ebene zum Kreismittelpunkt größer oder kleiner. Wenn man sie so dreht, dass der Abstand zum Kreismittelpunkt kleiner wird, rückt auch einer ihrer Schnittpunkt mit dem Kreis näher an die Gerade heran. Der andere Schnittpunkt entfernt sich von der Geraden. Also hat man ein Minimum, wenn die Ebene durch den Kreismittelpunkt geht.


na das mag schon sein, aber wie kommt man so ans ziel verwirrt

ich hab´s nicht anschaulich - was deine argumentation für mich eh nicht wirklich ist, da ich sie nicht nachvollziehen kann (was nur für mich was heißt) - gelöst sondern als einfaches gemüt analytisch Augenzwinkern
dann werde ich mir halt die mühe machen, das ganze in die xy-ebene zu drehen und zu überprüfen

ich bleibe dabei: die ebene, die durch g und M aufgespannt wird, trägt nichts zur lösung des problems bei unglücklich

natürlich lasse ich mich (un)gerne eines besseren belehren Augenzwinkern
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand zwischen Gerade und Kreislinie (3D)
Zitat:
Original von riwe

wahr oder falsch verwirrt

Leider habe ich die Aufgabe falsch verstanden, sorry. Ich hatte überlesen, dass ja der 3D-Abstand gefragt ist und nicht der Abstand des Schnittpunktes in der Kreisebene.

Ich halte jetzt auch die im Link dargestellte Methode für richtig (ausgenommen den Fall, dass die Gerade in der Kreisebene liegt).

Zitat:
Original von riwe
aber ich denke, du sollst E mit dem mittelpunkt M des kreises und dem richtungsvektor der geraden als NORMALENvektor basteln. geschnitten mit K bekommst du 2punkte, deren einer der gesuchte ist

Damit findest Du meiner Meinung nach aber nicht den Punkt mit dem Minimalabstand.

(Ich bastle an einer 3D-Skizze, vielleicht wird's was.)
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand zwischen Gerade und Kreislinie (3D)
Zitat:
ich bleibe dabei: die ebene, die durch g und M aufgespannt wird, trägt nichts zur lösung des problems bei

Das ist kein Wunder.
Anhand von Beispielen ist mir inzwischen auch klar geworden, dass das nicht stimmt.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand zwischen Gerade und Kreislinie (3D)
ich fürchte, auch meine variante ist nicht das gelbe vom ei.
da muß ich noch brüten, jaja 3D Augenzwinkern
mein vorstellungsvermögen beschränkt sich halt auf ein blatt papier und ist da meist überfordert unglücklich
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand zwischen Gerade und Kreislinie (3D)
Zitat:
Original von riwe
da muß ich noch brüten, jaja 3D Augenzwinkern

Ein kleiner Trost für mich, aber wirklich nur ein kleiner.
Ich bin immer wieder deprimiert, wie schnell du auf Lösungen kommst, für die ich viel, viel länger brauche.
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand zwischen Gerade und Kreislinie (3D)
Zitat:
Original von riwe
mein vorstellungsvermögen beschränkt sich halt auf ein blatt papier und ist da meist überfordert

Das glaubt Dir aber kein Mensch. Augenzwinkern


Spät aber doch habe ich jetzt auch ein Beispiel gefunden, in dem die Methode "Ebene durch Kreismittelpunkt und Gerade" nicht (immer?) den Minimalabstand erbringt.

[attach]15077[/attach]
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand zwischen Gerade und Kreislinie (3D)
Zitat:
Original von Huggy
Zitat:
Original von riwe
da muß ich noch brüten, jaja 3D Augenzwinkern

Ein kleiner Trost für mich, aber wirklich nur ein kleiner.
Ich bin immer wieder deprimiert, wie schnell du auf Lösungen kommst, für die ich viel, viel länger brauche.


@huggy
aber manchmal ist länger nachdenken eh der bessere weg.
ich habe mir bei viel rotem rotwein einen teil der nacht um die ohren geschlagen.



resumee: wenn die methode von mathdoc ergebnisse liefert, sind sie (in der regel verwirrt ) die besseren als die mit "meiner" formel,
was mich eh nicht mehr verwundert, siehe oben.
jetzt werde ich mich noch mit den exakten ergebnissen abplagen und damit, wann was (sinnvoll verwirrt ) anwendbar ist und warum.
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich einfach nur den minimalen Abstand wissen will (d.h. nicht "grundlegend"), bestimme ich das Minimum der bivariaten Funktion numerisch. Jedenfalls kann man seine schlauen Ansätze so ziemlich mühelos überprüfen.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lampe16
Wenn ich einfach nur den minimalen Abstand wissen will (d.h. nicht "grundlegend"), bestimme ich das Minimum der bivariaten Funktion numerisch. Jedenfalls kann man seine schlauen Ansätze so ziemlich mühelos überprüfen.

Das ist einfach genial!
Und ich Dummerchen bin bisher bei der numerischen Lösung doch glatt mit einem Parameter, nämlich , ausgekommen.
Peeder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand zwischen Gerade und Kreislinie (3D)
Danke für die Antworten.

@ Gualtiero: Kannst du bitte etwas zu deiner Zeichnung erklären? Ich kapiere diese nicht so wirklich. Wenn du einen Fall gefunden hast, in dem die o.g. Methode nicht funktioniert, wär ich schon froh, das zu wissen... smile
Oder wenn mir einer begründet einen Gegenfall nennen kann? Das wär super, weil dann werde ich das ganze numerisch machen...
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand zwischen Gerade und Kreislinie (3D)
Gegenbeispiel:
Kreis in der x-y-Ebene mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius 1.
Gerade mit
Die Gerade verläuft also parallel zur x-y-Ebene im Abstand h.

Der kürzeste Abstand zwischen Kreis und Gerade ist offensichtlich h und zwar zwischen dem Kreispunkt (0, 1, 0) und dem Geradenpunkt (0, 1, h). Die Ebene aus dem Link, definiert durch die Gerade und Mittelpunkt des Kreises würde jedoch den Kreis in den Punkten (1, 0, 0) und (-1, 0, 0) schneiden, was eine deutlich größere Entfernung gäbe.
Peeder Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo zusammen,

vielen, vielen Dank für eure Hilfe. Ich bin damit schon ein sehr gutes Stück weiter gekommen. Wie bereits erwähnt funktioniert die Lösung "Link" (und damit mein ganzer Ansatz aus dem ersten Post) nicht.

Für die Interessierten: Lesen1
Ich habe mir einen Artikel besorgt, der zum Thema passt: http://jgt.akpeters.com/papers/Vranek02/
In diesem wird erwähnt, dass es im Prinzip keine allgemeingültige analytische Lösung für mein Problem gibt, sondern numerisch das Minimum gesucht werden muss. Tja dann...

Gruß,
Peter
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand zwischen Gerade und Kreislinie (3D)
Zitat:
Original von Huggy
Gegenbeispiel:
Kreis in der x-y-Ebene mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius 1.
Gerade mit
Die Gerade verläuft also parallel zur x-y-Ebene im Abstand h.

Der kürzeste Abstand zwischen Kreis und Gerade ist offensichtlich h und zwar zwischen dem Kreispunkt (0, 1, 0) und dem Geradenpunkt (0, 1, h). Die Ebene aus dem Link, definiert durch die Gerade und Mittelpunkt des Kreises würde jedoch den Kreis in den Punkten (1, 0, 0) und (-1, 0, 0) schneiden, was eine deutlich größere Entfernung gäbe.


@huggy: kannst du mir sagen welchen link du meinst verwirrt
der von peeder kam ja erst deutlich später
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand zwischen Gerade und Kreislinie (3D)
Zitat:
Original von riwe
@huggy: kannst du mir sagen welchen link du meinst verwirrt
der von peeder kam ja erst deutlich später

Ich meinte den Link ganz am Anfang, wo peeder das Problem formulierte.
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand zwischen Gerade und Kreislinie (3D)
Zitat:
Original von Peeder
@ Gualtiero: Kannst du bitte etwas zu deiner Zeichnung erklären? Ich kapiere diese nicht so wirklich.

Nur der Vollständigkeit halber: Meine Zeichnung sollte zeigen, dass die in Deinem Link erklärte Methode nicht immer funktioniert. Die Hilfsebene (grau angelegt) durch die Gerade g und den Kreismittelpunkt schneidet den Kreis, was zwei Schnittpunkte ergibt. Der Lotabstand eines dieser beiden Schnittpunkte zur Geraden sollte der gesuchte Minimalabstand sein. Es gibt aber Fälle, wo das nicht zutrifft.

Das Beispiel von Huggy zeigt das aber viel einfacher und klarer. Freude
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Peeder
Für die Interessierten: Lesen1
Ich habe mir einen Artikel besorgt, der zum Thema passt: http://jgt.akpeters.com/papers/Vranek02/
In diesem wird erwähnt, dass es im Prinzip keine allgemeingültige analytische Lösung für mein Problem gibt, sondern numerisch das Minimum gesucht werden muss. Tja dann...

Für das Problem Abstand Kreis-Gerade gibt es schon eine allgemeingültige analytische Lösung, zumindest dann, wenn ich mich nicht verrechnet habe.

Ich bin auf eine Polynomgleichung 4. Grades gekommen. Da man solche Gleichungen aber üblicherweise, obwohl es im Prinzip formelmäßig geht, numerisch löst, kann man das Problem auch direkt numerisch angehen.

Allerdings könnte die analytische Lösung leichter Einsicht in allgemeine Eigenschaften der Lösung bieten.
Peeder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Für das Problem Abstand Kreis-Gerade gibt es schon eine allgemeingültige analytische Lösung, zumindest dann, wenn ich mich nicht verrechnet habe.

Ich bin auf eine Polynomgleichung 4. Grades gekommen. Da man solche Gleichungen aber üblicherweise, obwohl es im Prinzip formelmäßig geht, numerisch löst, kann man das Problem auch direkt numerisch angehen.

Allerdings könnte die analytische Lösung leichter Einsicht in allgemeine Eigenschaften der Lösung bieten.


Du hast recht, auch im Artikel kommt der Autor auf ein Polynom 4. Grades, allerdings schreibt dieser dann:
Zitat:
But since the fourth-degree polynomial equation does not have any stable analytical solution, a numerical technique for finding roots of the polynomial has to be employed

aus: Journal of graphics tools 7.1, 2002, Fast and Accurate Circle-Circle and Circle-Line 3D Distance Computation by David Vranek

@Huggy: Wenn du sagst, du hast eine wirklich allgemeingültige Lösung, wäre es schön, wenn du diese hier präsentieren könntest. Deinen letzten Satz habe ich irgendwie nicht ganz verstanden...
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Die Bemerkung "does not have any stable analytic solution" ist mir nicht verständlich, da doch bei Polynomgleichungen bis zum 4. Grad analytische Lösungen existieren. Meine Rechnung sieht so aus:

Bezeichnungen gemäß Aufgabenstellung und

Der Abstand d eines beliebigen Punktes des Kreises zu der Geraden ist gegeben durch:

(1)

Statt d zu minimieren ist es einfacher

(2)

zu minimieren.

Es folgt eine gewisse Standardisierung des Problems. Durch Verschieben und Drehen des Koordinatensystems kann man den Kreismittelpunkt in den Ursprung des Koordinatensystems bringen und die Kreisebene in die x-y-Ebene. Mit einer weiteren Drehung um die z-Achse kann man den Richtungsvektor der Geraden parallel zur x-z-Ebene machen, d. h. ty = 0. Danach kann man tx = 1 setzen. Das schließt zwar Geraden senkrecht zur x-y-Ebene aus, jedoch ist dieser Fall trivial. Und schließlich kann man den Ortsvektor der Geraden so wählen, dass gilt: . Insgesamt ergibt sich dadurch folgende Standardisierung:

(3a)
(3b)
(3c)
(3d)

Wenn man e mittles der Lagrange-Identität umformt und alle Standardisierungen benutzt, erhält man:

(4)

Wenn man das nach ableitet und die Ableitung Null setzt, erhält man nach kleinen Umformungen:



Dabei ist

Die Lösungen dieser Gleichung ergeben alle lokalen Extrema des Abstandes zwischen Gerade und Kreis.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

genau diesen weg von huggy mit analogem ergebnis habe ich anfangs auch gewählt,
da man dabei sinnvollerweise auch nicht um die numerik herumkommt, habe ich das ganze etwas umgestellt und mir ein paar zeilen programm gebastelt, dem es ganz wurscht ist, wo die gerade liegt, ob sie den kreis schneidet etc., es funktioniert (zumindest im test) immer smile
Peeder Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Werner,

Wäre es vielleicht möglich, dein Programm zu bekommen? Wäre echt super! Gott Danke. smile

Gruß,
Peeder
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Peeder
Hallo Werner,

Wäre es vielleicht möglich, dein Programm zu bekommen? Wäre echt super! Gott Danke. smile

Gruß,
Peeder


ohne gewähr Augenzwinkern
makros aktivieren, ist garantiert jugend- und virenfrei Augenzwinkern

werte eingeben, commandbutton (ist das ding mit dem zirkel drauf) drücken,
ca. 0.5 sec warten, staunen Augenzwinkern

ich hoffe, das zeug hilft dir
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »