Infinite monkey theorem - Borel-Cantelli

07.06.2010, 17:28	meranda	Auf diesen Beitrag antworten »
Infinite monkey theorem - Borel-Cantelli Hallo, ich war auf der Suche nach einem "anschaulichen" Beispiel für das Borel-Cantelli Lemma und bin auf das "Infinite Monkey Theorem" gestoßen: Ein Affe sitzt unendlich lange vor einer Schreibmaschine und tippt unabhänigig voneinander zufällige Tasten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei das Wort "AFFE" vorkommt. Das kann man ja direkt ohne Borel-Cantelli sehen - aber ich wollte es für mich zur Veranschaulichung. Wenn die Schreibmaschine $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Tasten besitzt gilt $\begin{eqnarray} P(A_i):=P(X_i=\alpha) = \frac{1}{n} > 0 \end{eqnarray}$ für jeden Buchstaben $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \sum_{n \in \mathbb{N}} P(A_n) = \infty \end{eqnarray}$ . Damit gilt mit dem Borel-Cantelli Lemma ja $\begin{eqnarray} P(A)=1 \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} A:=\{\omega \in \Omega \mid \omega \in A_n \text{ für unendlich viele } n \in \mathbb{N}\} \end{eqnarray}$ . Irgendwie komme ich jetzt nicht an den Punkt, an dem das Wort "AFFE" auftaucht? Also mir ist nicht ganz klar, was genau unendlich oft wo auftauchen sollte. Hat da vielleicht jemand einen Tipp für mich? (Wahrscheinlich ists nicht ganz so schwer...hoffe ich.)
07.06.2010, 21:00	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Infinite monkey theorem - Borel-Cantelli -Die A_n müssen unabhängig voneinander sein, damit das Lemma von Boel-Cantelli anwendbar ist. -Wie kann man also alle Buchstaben derart zerlegen, dass A_n eintritt, wenn an einer von n abhängigen Stelle AFFE steht und die A_n unabhängig voneinander sind?

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