GRF - Bestimmung der Art der Definitionslücke

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01.11.2006, 12:57	Judy87w	Auf diesen Beitrag antworten »
GRF - Bestimmung der Art der Definitionslücke Hey, ich mal wieder Habe gerade Ferien und bin gerade dabei etwas Stoff nachzulernen. Es geht um die gebrochen rationale Funktion. Mein erstes Probleme ist, wie ich die Art der Definitionslücke bestimmen kann. Meine Aufgabe lautet: $\begin{eqnarray} \frac{2x^{2}}{x^{4} -4x^{2}} \end{eqnarray}$ Ich habe nun als Definitionslücken 0,2,-2 bestimmt und die Funktion anschließend faktorisiert und gekürzt: $\begin{eqnarray} \frac{2}{(x-2)(x+2)} \end{eqnarray}$ Nun benötige ich ja zur Bestimmung des Verlaufs des Graphen gegen die Definitionslücken dn Limes. Ich fange mit 2 an. $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 2\pm 0} \frac{2}{(x-2)(x+2)} \end{eqnarray}$ Meine Frage ist nun wo ich diese 2 in die Funktion einsetzen muss? Das Ergebnis ist +- unendlich. Kann mir vielleicht jemand helfen, wie ich das genau ermittle? Vielen Dank! Judy
01.11.2006, 13:10	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde von der Darstellung $\begin{eqnarray} x^2-4 \end{eqnarray}$ ausgehen. Dann ist $\begin{eqnarray} (2+h)^2 - 4 = h^2+4h \end{eqnarray}$ . Und $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0+} h^2+4h = 0+ \end{eqnarray}$ , insgesamt hast du also $\begin{eqnarray} + \infty \end{eqnarray}$ . Ist mathematisch nicht sauber, aber für die Schule reicht's schon. EDIT: $\begin{eqnarray} (2+h-2)(2+h+2)=h(4+h) \end{eqnarray}$ geht sogar noch besser Gruß, therisen
01.11.2006, 13:59	Judy87w	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Noch eine Frage: $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{x^{3} +2x^{2} +x}{x^{3} +x^{2} } \end{eqnarray}$ Hier habe ich als Definitionsmenge R \ {0;-1} Danach habe ich auf $\begin{eqnarray} \frac{(x+1)}{x} \end{eqnarray}$ gekürzt. Bei dem lim gegen -1 bekomme ich 0 / 0. Wie kann ich hier weitermachen? Es handelt sich wohl entweder um eine stetig behebare Definitionslücke oder um einen Grenzwert. Wie finde ich das heraus? Danke!
01.11.2006, 14:06	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} \frac{x+1}{x} = \frac{-1+1}{-1} = 0 \end{eqnarray}$
01.11.2006, 14:25	Judy87w	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm... ja ok g. Könntest du das vielleicht noch etwas erklären? Wie mach ich allgemein weiter? Vielen Dank! Judy
01.11.2006, 15:30	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemein vereinfachst du deine Funktion so weit wie möglich und wenn du dann die zu untersuchende Stelle $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ in die Funktion einsetzen darfst (d.h. z.B. wird der Nenner nicht mehr Null), dann tust du das einfach und es gilt in diesem Fall $\begin{eqnarray} \lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0) \end{eqnarray}$ .
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01.11.2006, 15:36	Judy87w	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist für mich glaub ich zu kompliziert, sry. Wir haben im Nenner schon immer eine Null gehabt, in "". Und beim Fall 0 /0 gibt es dann wohl zwei Möglichkeiten. Entweder einen Grenzwert oder eine Unendlichkeitsstelle. Nur wie man das unterscheidet und dann an den Grenzwert kommt weiß ich nciht.
01.11.2006, 15:39	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Wenn der Zähler und der Nenner einer Funktion beide gegen 0 bzw beide gegen unendlich streben, kann man die Regel von de l'Hospital anwenden. Sprich Zähler und Nenner einzeln ableiten und dann nochmal den Grenzwert betrachten. Ich hoffe das hilft dir weiter. Gruß Björn
01.11.2006, 15:41	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast doch selbst gezeigt, dass $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{x^{3} +2x^{2} +x}{x^{3} +x^{2} } = \frac{x+1}{x} \end{eqnarray}$ gilt. Dann gilt doch auch $\begin{eqnarray} \lim_{x\to -1} f(x) =\lim_{x\to -1} \frac{x^{3} +2x^{2} +x}{x^{3} +x^{2} } =\lim_{x\to -1} \frac{x+1}{x} \end{eqnarray}$ . Naja, und $\begin{eqnarray} \lim_{x\to -1} \frac{x+1}{x} \end{eqnarray}$ kannst du doch einfach "ausrechnen"
01.11.2006, 15:54	Judy87w	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich das ausrechne bekomme ich 0 raus? Wo ist denn dann mein Grenzwert?
01.11.2006, 16:01	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, dein Grenzwert ist eben Null
01.11.2006, 16:29	Judy87w	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedeutet also umso mehr x -> -1 geht y -> 0? Als Lösung gibt es noch eine stetig behebare Definitionslücke bei x = -1? Wie kommt man da drauf?
01.11.2006, 16:33	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann man so sagen, ja. Wie man darauf kommt steht in meinem letzten Beitrag Die Funktion wurde so weit vereinfacht, dass man einfach $\begin{eqnarray} x=-1 \end{eqnarray}$ einsetzen und den Wert ganz normal ausrechnen kann. Daher ist die Funktion an dieser Stelle stetig fortsetzbar.

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