durch Mittelwertsatz bewiesene Ungleichung

07.06.2010, 19:07

Oman

durch Mittelwertsatz bewiesene Ungleichung

Hallo Leute! Wink

Hab hier ein arges Verständnisproblem und hoffe ihr könnt mir helfen.

Es geht um den Mittelwertsatz,mit dessen Hilfe wir diese Ungleichung beweisen haben.
$\begin{eqnarray*} \forall x>0,gilt \sqrt{1+ x} <1+\frac{x}{2} . \end{eqnarray*}$

Unser Beweis:
$\begin{eqnarray*} x->(1+\frac{x}{2} )^2 f'(psi)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0} \Rightarrow 1+ \frac{psi}{2} =\frac{(1+\frac{x}{2})^2-1 }{x} psi\in ]0,x] \Rightarrow 1<\frac{(1+\frac{x}{2})^2-1}{x} 1+x<(1+\frac{x}{2})^2 \end{eqnarray*}$

was soll $\begin{eqnarray*} x->(1+\frac{x}{2} )^2 \end{eqnarray*}$ bedeuten? Und was wurde nach dem zweiten Äquivalenzpfeil gemacht verwirrt

? Warum steht da jetzt links nur noch eine 1?

07.06.2010, 22:00

Felix

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Zitat:

was soll $\begin{eqnarray*} x->(1+\frac{x}{2} )^2 \end{eqnarray*}$ bedeuten?

Das ist die Abbildungsvorschrift für die Funktion die du betrachtest.

Zitat:

Und was wurde nach dem zweiten Äquivalenzpfeil gemacht verwirrt ? Warum steht da jetzt links nur noch eine 1?

Da psi/2 > 0 gilt $\begin{eqnarray*} 1 < 1 + \frac {\psi}{2} = \frac { (1 + \frac{x}{2})^2 - 1} {x} \end{eqnarray*}$ .

07.06.2010, 23:48

Oman

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Danke für die Antwort! War eine große Hilfe Freude

Habs jetzt verstanden, bis auf das mit der Abbildungsvorschrift.
Warum gilt nicht $\begin{eqnarray*} x->\sqrt{1+x} \end{eqnarray*}$ ? Weil $\begin{eqnarray*} 1+ \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ größer ist? Sprich, es folgt nach $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+x} \end{eqnarray*}$ ?

07.06.2010, 23:50

Oman

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Und wie hast du das Psi-Zeichen hinbekommen?! Big Laugh

08.06.2010, 07:10

Felix

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Zitat:

Warum gilt nicht $\begin{eqnarray*} x->\sqrt{1+x} \end{eqnarray*}$ ? Weil $\begin{eqnarray*} 1+ \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ größer ist? Sprich, es folgt nach $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+x} \end{eqnarray*}$ ?

Du wählst diese Funktion, da der Beweis damit halt funktioniert. Sie hat eben einen günstigen Differenzenquotienten.

Zitat:

Und wie hast du das Psi-Zeichen hinbekommen?! Big Laugh

\psi

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