Normalverteilung

07.06.2010, 20:00	Jimmy89	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalverteilung Mal wieder ne Aufgabe, mit der ich Probleme habe. Geht schon bei der Angabe los: Es sei $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} N(0;\sigma²) \end{eqnarray}$ -verteilt mit $\begin{eqnarray} \sigma²>0 \end{eqnarray}$ . Das heißt $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ besitzt die Dichte $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{\sigma²}e^{-\frac{x²}{2\sigma²} } \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Weiter sei $\begin{eqnarray} Y=e^{X} \end{eqnarray}$ . a) Stellen Sie die verteilungsfunktion von Y mithilfe der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung dar und zeigen Sie, dass die Dichte von Y durch $\begin{eqnarray} g(y)=\frac{1}{y\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(logy)²}{2\sigma²} } \end{eqnarray}$ gegeben ist. Meiner Meinung nach ist ja schon die Dichte falsch angegeben, hat nicht X die Dichte $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{-\frac{x²}{2\sigma²} } \end{eqnarray}$ oder sehe ich das falsch?
07.06.2010, 21:05	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normalverteilung Dabei liegst du richtig. Eine $\begin{eqnarray} N(0,\sigma^2) \end{eqnarray}$ verteilte Zufallsvariable besitzt die Dichte $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{- \frac{x^2}{2 \sigma^2}} \end{eqnarray}$
07.06.2010, 21:51	Jimmy89	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok gut und wie gehts jetzt weiter? Jetzt soll man ja die Verteilungsfunktion von Y darstellen: $\begin{eqnarray} F_{Y}=P(Y\leq t)=P(e^{X}\leq t)=P(X\leq ln(t))= \frac{1}{\sqrt{2\pi } \sigma}\int_a^b \! e^{\frac{-x²}{2\sigma²} } \, dx \end{eqnarray}$ wobei für die Integratiopnsgrenzen gilt: $\begin{eqnarray} a= -\infty \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b=lnt \end{eqnarray}$ (hab das anders leider nicht hinbekommen..) Dafür gibts doch jetzt keine Stammfunktion oder? Dann kann man ja die Verteilungsfunktion nicht weiter ausrechnen. Wie kommt man denn dann auf die Dichte von Y?? Oder ist mein Weg komplett falsch?? schonmal danke für die Hilfe!!
07.06.2010, 23:18	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Zuerst musst du ja noch die Verteilungsfunktion von Y mithilfe der Verteilungsfunktion der Standartnormalverteilung darstellen. Das hast du ja nochnicht gemacht. Aber nun zur Dichte. Überlege dir, warum es reicht $\begin{eqnarray} P(Y \leq t) = \int\limits_{-\infty}^{t} \frac{1} {y \sigma \sqrt{2 \pi}} e^{- \frac{ln(y)^2} {2 \sigma^2}} ~dy \end{eqnarray}$ zu zeigen, um zu beweisen, dass Y die Dichte $\begin{eqnarray} \frac{1} {y \sigma \sqrt{2 \pi}} e^{- \frac{ln(y)^2} {2 \sigma^2}} \end{eqnarray}$ besitzt. Was du bereits hast: $\begin{eqnarray} P(Y \leq t) = \int\limits_{-\infty}^{ln(t)} \frac{1} {\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{- \frac{x^2} {2 \sigma^2}} ~dx \end{eqnarray}$ Im Grunde musst du also nurnoch zeigen, dass $\begin{eqnarray} \int\limits_{-\infty}^{ln(t)} \frac{1} {\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{- \frac{x^2} {2 \sigma^2}} ~dx = \int\limits_{-\infty}^{t} \frac{1} {y \sigma \sqrt{2 \pi}} e^{- \frac{ln(y)^2} {2 \sigma^2}} ~dy \end{eqnarray}$ Da gibts einen Satz dafür
08.06.2010, 12:37	Jimmy89	Auf diesen Beitrag antworten »
Also um das zu zeigen könnte vielleicht eine Substitutuion helfen oder? $\begin{eqnarray} x=ln(y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{dx}{dy}=\frac{1}{y} \end{eqnarray}$ So kann man denke ich die beiden Integrale ineinander umschreiben. Und die Dichte ist ja dann einfach die Ableitung davon.

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