Existenz Lebesgue-Integral

07.06.2010, 20:58

saz

Existenz Lebesgue-Integral

Und zwar geht's darum die Existenz von dem folgenden (iterierten) Lebesgue-Integral zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} \int_{(0,\infty)} \int_{(0,\infty)} e^{-xy} \cdot \sin x \cdot \sin y \, \, \lambda(dx) \, \lambda(dy) \end{eqnarray*}$

Irgendwie bräuchte man ja eine Lebesgue-Integrierbare Majorante, aber mir fällt keine Abschätzung ein, die mich zu einer Majorante führt, die ich "doppelt" über $\begin{eqnarray*} (0,\infty) \end{eqnarray*}$ integrieren kann und deren Integral dann immernoch endlich ist verwirrt

Danke schon mal!

07.06.2010, 21:16

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Mit $\begin{eqnarray*} |\sin(t)| \leq \min(t,1) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t\geq 0 \end{eqnarray*}$ sollte es klappen.

07.06.2010, 21:44

saz

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Ah, na klar, das ist ja toll smile

. Danke dir!

07.06.2010, 23:33

iammrvip

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Hai.

andere Idee meinerseits:

Die zwei Ausdrücke sind symmetrisch in x und y, sie müssen also übereinstimmen, wenn sie konvergieren. Schauen wir also einmal das innere Integral an, dann haben wir

$\begin{eqnarray*} \int_{(0,\infty)}\left|\mathrm e^{-xy}\sin x\right|\lambda(\mathrm dx) \leq \int_{(0,\infty)}\mathrm e^{-xy}\lambda(\mathrm dx) = \int_0^\infty \mathrm e^{-xy}\mathrm dx = \frac{1}{x}. \end{eqnarray*}$

Die Integranden sind stetig, also dürfen wir R-Integrale benutzen.

Es gilt $\begin{eqnarray*} \sin x = \mathrm{Im}\,\mathrm{e}^{\mathrm ix} \end{eqnarray*}$ , also:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \mathrm e^{-xy}\sin\, x\,\mathrm dx = \mathrm{Im}\int_0^\infty\mathrm e^{-(y-\mathrm i)x}\,\mathrm dx = \mathrm{Im}\frac{1}{y-\mathrm i} = \mathrm{Im}\frac{y+\mathrm i}{y^2+1}=\frac{1}{y^2+1} \end{eqnarray*}$

Warum existiert das iterierte Integral? - nun ganz einfach:

$\begin{eqnarray*} \int_{(0,\infty)}\left|\frac{\sin x}{1+x^2}\right|\mathrm dx\leq\int_{(0,\infty)}\frac{1}{1+x^2}\mathrm dx =\arctan x\mid_0^\infty = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Wohl die Variante für Schreibfaule.

Mfg.

Edit: danke, dümmlichen Schreibfehler beseitigt.

07.06.2010, 23:46

giles

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_{(0,\infty)}\left|\frac{\sin x}{x}\right|\mathrm dx\leq\int_{(0,\infty)}\frac{1}{1+x^2}\mathrm dx =\arctan x\mid_0^\infty = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Wie wo was? verwirrt

$\begin{eqnarray*} \int_0 ^{\infty} \left|\frac{\sin x}{x}\right| dx \end{eqnarray*}$ existiert doch garnicht, oder?

Ich weiß noch genau wir hatten $\begin{eqnarray*} \frac{\sin x}{x} \end{eqnarray*}$ als Standardbeispiel für eine uneigentlich-Riemann- aber nicht Lebesgue-integrierbare Funktion.

08.06.2010, 07:59

saz

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Hm okay, danke, so geht's natürlich auch smile

... aber wer weiß, ob die es mögen, wenn man in der Maßtheorie mit komplexen Zahlen rechnet Big Laugh

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