gleichmäßige konvergenz auf gaußklammerfunktion

08.06.2010, 15:18

ana87

gleichmäßige konvergenz auf gaußklammerfunktion

Meine Frage:
hallo,

also folgendes Problem:
$\begin{eqnarray*} g_n \rightarrow g \end{eqnarray*}$
g_n konvergiert punktweise gegen g mit
$\begin{eqnarray*} g_n(x)=\left[\frac{\left[nx\right]^{2}}{n^{2} }\right] \end{eqnarray*}$ Dies soll die Gaußklammer darstellen, allerdings nur um (nx), nicht um den gesamten bruch
und
$\begin{eqnarray*} g(x)=x^2 \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} x\in \left[0,1\right] \end{eqnarray*}$
zu zeigen: g_n konvergiert gleichmäßig gegen g

Meine Ideen:
das habe ich mir bisher gedacht...
$\begin{eqnarray*} | \frac{\left[nx\right]^{2}}{n^{2} } - x^{2} | \Rightarrow | \frac{\left[nx\right]^{2}}{n^{2} } - \frac{x^{2}n^{2} }{n^{2} } | \end{eqnarray*}$

Wie könnte ich nun weiter vorgehen, wäre sehr dankbar für den nötigen denkanstoß

08.06.2010, 16:32

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Zitat:

Original von ana87
$\begin{eqnarray*} g_n(x)=\left[\frac{\left[nx\right]^{2}}{n^{2} }\right] \end{eqnarray*}$ Dies soll die Gaußklammer darstellen, allerdings nur um (nx), nicht um den gesamten bruch

Warum schreibst du sie dann überhaupt erst um den gesamten Bruch? unglücklich

Besser gleich $\begin{eqnarray*} g_n(x) = \frac{\left\lfloor nx\right\rfloor^2}{n^2} \end{eqnarray*}$ , das vermeidet Missverständnisse.

Zur Lösung: Es gilt $\begin{eqnarray*} t-1 < \lfloor t \rfloor \leq t \end{eqnarray*}$ für alle reellen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , und somit auch

$\begin{eqnarray*} nx-1 < \left\lfloor nx\right\rfloor \leq nx \end{eqnarray*}$ .

Das ein bisschen strecken oder stauchen und abschätzen, fertig.

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