Konvergenz von Reihen

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martha.1981 Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Reihen
Jetzt geht es um Reihen und das macht mir leider noch mehr Schwierigkeiten:

Die Aufgabe lautet:

(i) Sei monoton fallende Nullfolge nichtnegativer Glieder.
Zeige dass genau dann konvergiert, wenn konvergiert.

(ii) Zeigen Sie, dass für konvergiert und für divergiert.


Die einzige Idee habe ich überhaupt erst, wenn ich voraussetze, dass gilt. Denn dann ist für die Folge nichtnegativer Glieder nach Satz in Vorlesung die Reihe konvergent, genau dann wenn die Folge ihrer Partialsummen beschränkt ist. Bei der anderen Reihe gilt das gleiche, also brauche ich nur zeigen dass die eine Partialsummenfolge beschränkt ist, genau dann wenn die andere beschränkt ist. Aber wie das?


Zu (ii) kann ich sagen, dass falls ist, im Fall s=1 die harmonische Reihe dasteht, im Fall s=0 die 1 darsteht, im fall 0<s<1 habe ich da einen Wurzelausdruck im Nenner und für s<0 steht n hoch einer positiven Potenz in der Reihe. Dass das alles divergiert sehe ich ein.

Gehe ich für mit der (i) an die Sache erschließt sich mir folgendes:



Und da ich bei diesen Umformungen doch etwas eingerostet bin, kann ich mich dabei auch gut möglich vertan haben, dennoch, das sieht mir doch sehr nach geometrischer reihe aus und ist wohl größergleich 1 und dann divergiert sie doch, oder sehe ich das falsch?

Grüßle,

Matha
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Du kennst bestimmt die Beweisidee für die Divergenz der harmonischen Reihe.

Genauso kannst du hier auch vorgehen:

Für die Konvergenz


Für die Divergenz:


Übrigens (das erklärt auch deine Zweifel beim zweiten Aufgabenteil) gilt

konvergiert genau dann, wenn konvergiert.

Ich weiß nicht, wie sich da bei dir der Kehrwert eingeschlichen hat. Würde auch gar kein Sinn machen, da dieser gar keine Nullfolge ist.
martha.1981 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo

Für die Konvergenz


Für die Divergenz:




hm, find ich gerade nicht so leicht nachzuvollziehen. Okay, angenommen konvergiert und ich klammere so wie du oben beim konvergenten fall, dann sind die klammern immer größergleich der Sumanden der Reihe

Also sind die Partialsummen (größer null da alle .

Das Quetschlemma ist das ja noch nicht. Wie geht's denn jetzt weiter?

Grüße,

Schmo
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von martha.1981
Also sind die Partialsummen (größer null da alle .

Das geht etwas anders. Beispielsweise ist:



Jetzt mußt du das noch verallgemeinern.
martha.1981 Auf diesen Beitrag antworten »

Hm. Beispielsweise ist gut. Das ist doch andersrum immer der Fall oder?

Also es ist doch f.a. .

Wenn das so ist, ist wegen alle die divergent, falls divergent.

Damit ist dann die Rückrichtung schonmal gezeigt.


Und jetzt nutze ich gleiches nochmal nur anders aus. Denn jetzt weiß ich, dass gilt und ich weiß aber auch, dass mir zwei Elemente x,y eine Folge die gliedweise jeweils größergleich der Folge ist. Wähle ich so ist


.

Damit ist die Folge beschränkt kann also nicht bestimmt divergieren. Wegen der monotonie ihrer Glieder kann sie nicht unbestimmt divergieren. Also konvergiert sie.

Damit ist auch die Hinrichtung gezeigt.

Juchu, hui war das eine lange Geburt. Aber jetzt... Tante Klara.

Gute Nacht,

Martha
Kühlkiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von martha.1981

Juchu, hui war das eine lange Geburt.


Nur leider eine Totgeburt...

Deine Überlegungen sind nur bedingt nachvollziehbar was auch daran liegen mag, dass sie teilweise schlicht falsch sind.

Es geht hier ja um den Beweis des Cauchyschen Verdichtungskriteriums und wie meine Vorredner schon angedeutet haben besteht die Grundidee des Beweises darin einfach nur die Voraussetzung, dass es sich bei um eine positive, monoton fallende Folge handelt auszunutzen, d.h.:

Mit gilt:



Daraus kannst Du nun folgern, dass einerseits

Konvergenz von Konvergenz von impliziert

und andererseits

Konvergenz von Konvergenz von impliziert.
 
 
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