Basis

08.06.2010, 17:41

Jana89

Auf diesen Beitrag antworten »

Basis

Meine Frage:
VR= M(2x2,R)

Ist B= [[/latex] \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} ,
\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} ,
\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} ,
\begin{pmatrix} -1 & -1 \\-1 & 1 \end{pmatrix} $\begin{eqnarray*} ]<br /> eine Basis des VR?<br /> <br /> <b>Meine Ideen:</b><br /> Erstmal zur linearen Unabhängigkeit:<br /> Ich habe zu zeigen, dass<br /> <br /> \end{eqnarray*}$ a*\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} +
b*\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}+
c*\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} +
d*\begin{pmatrix} -1 & -1 \\-1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} für a=b=c=d=0 $\begin{eqnarray*} <br /> <br /> Kann ich da diese 4 Gleichungen aufstellen?<br /> <br /> a+b-c-d=0<br /> a-b+c-d=0<br /> a-b-c-d=0<br /> a-b-c+d=0<br /> <br /> Oder ist dies nicht möglich?<br /> Da habe ich schon rausbekommen, dass a=b=c=d=0.<br /> Nur bin ich mir nicht sicher, ob man das so machen kann?<br /> <br /> Um zu zeigen, dass dies ein Erzeugendensystem ist, habe ich aber meine Probleme.<br /> Diese Matrizen müssen ja den gesamten VR erzeugen können:<br /> Ich würde da:<br /> <br /> <br /> \end{eqnarray*}$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=
a*\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} +
b*\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}+
c*\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} +
d*\begin{pmatrix} -1 & -1 \\-1 & 1 \end{pmatrix} [latex]

Nur da komme ich auch nicht weiter beim Lösen....

Danke schon mal für die Hilfe.

08.06.2010, 17:46

Jana89

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier nochmal:
Erstmal zur linearen Unabhängigkeit:
Ich habe zu zeigen, dass

[/latex] a*\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} +
b*\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}+
c*\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} +
d*\begin{pmatrix} -1 & -1 \\-1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} für a=b=c=d=0 $\begin{eqnarray*} <br /> <br /> Kann ich da diese 4 Gleichungen aufstellen?<br /> <br /> a+b-c-d=0<br /> a-b+c-d=0<br /> a-b-c-d=0<br /> a-b-c+d=0<br /> <br /> Oder ist dies nicht möglich?<br /> Da habe ich schon rausbekommen, dass a=b=c=d=0.<br /> Nur bin ich mir nicht sicher, ob man das so machen kann?<br /> <br /> Um zu zeigen, dass dies ein Erzeugendensystem ist, habe ich aber meine Probleme.<br /> Diese Matrizen müssen ja den gesamten VR erzeugen können:<br /> Ich würde da:<br /> <br /> <br /> \end{eqnarray*}$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=
a*\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} +
b*\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}+
c*\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} +
d*\begin{pmatrix} -1 & -1 \\-1 & 1 \end{pmatrix} [latex]

Nur da komme ich auch nicht weiter beim Lösen....

Danke schon mal für die Hilfe.

08.06.2010, 17:49

Jana89

Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal zur linearen Unabhängigkeit:
Ich habe zu zeigen, dass

[/latex] a*\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} +
b*\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}+
c*\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} +
d*\begin{pmatrix} -1 & -1 \\-1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} für a=b=c=d=0 $\begin{eqnarray*} <br /> <br /> Kann ich da diese 4 Gleichungen aufstellen?<br /> <br /> a+b-c-d=0<br /> a-b+c-d=0<br /> a-b-c-d=0<br /> a-b-c+d=0<br /> <br /> Oder ist dies nicht möglich?<br /> Da habe ich schon rausbekommen, dass a=b=c=d=0.<br /> Nur bin ich mir nicht sicher, ob man das so machen kann?<br /> <br /> Um zu zeigen, dass dies ein Erzeugendensystem ist, habe ich aber meine Probleme.<br /> Diese Matrizen müssen ja den gesamten VR erzeugen können:<br /> Ich würde da:<br /> <br /> <br /> \end{eqnarray*}$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=
a*\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} +
b*\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}+
c*\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} +
d*\begin{pmatrix} -1 & -1 \\-1 & 1 \end{pmatrix} [latex]

Nur da komme ich auch nicht weiter beim Lösen....

Danke schon mal für die Hilfe.

08.06.2010, 17:51

Jana89

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh gott, ich komme mit dem Latex nicht klar, aber wenn ihr mit der Maus über die hellen Balken fahrt, seht ihr, dass ich dazwischen noch viel geschrieben habe....

08.06.2010, 17:57

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis

Zitat:

Original von Jana89
Meine Frage:
VR= M(2x2,R)

Ist B= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & -1 \\-1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
eine Basis des VR?

Meine Ideen:
Erstmal zur linearen Unabhängigkeit:
Ich habe zu zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} a* \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + b*\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} + c*\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} + d*\begin{pmatrix} -1 & -1 \\-1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \text{für a=b=c=d=0} \end{eqnarray*}$

Kann ich da diese 4 Gleichungen aufstellen?

a+b-c-d=0
a-b+c-d=0
a-b-c-d=0
a-b-c+d=0

Oder ist dies nicht möglich?
Da habe ich schon rausbekommen, dass a=b=c=d=0.
Nur bin ich mir nicht sicher, ob man das so machen kann?

Um zu zeigen, dass dies ein Erzeugendensystem ist, habe ich aber meine Probleme.
Diese Matrizen müssen ja den gesamten VR erzeugen können:
Ich würde da:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}= a*\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + b*\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} + c*\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} + d*\begin{pmatrix} -1 & -1 \\-1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nur da komme ich auch nicht weiter beim Lösen....

Danke schon mal für die Hilfe.

Ich hab's mal schön für dich aufgeschrieben.

Zuerst einmal: Die Gleichung für die LU ist richtig, allerdings muss dort folgen, dass alle Koeffizienten gleich Null sein müssen. "Für" a=b=c=d=0 ist diese Gleichung immer erfüllt, auch, wenn die Vektoren lin. abh. sind.

Eigentlich bist du mit dem Zeigen der linearen Unabhängigkeit fertig, falls du weißt, dass der VR Dimension 4 hat. Das hast du auch richtig gemacht.

Wenn du jetzt zeigen möchtest, dass man jeden beliebigen Vektor auch mit den Basisvektoren darstellen kann, dann kannst du z.B. zeigen, dass die Koeffizientenmatrix des LGS, das du bei der linearen Unabhängigkeit benutzt hast (rot oben), regulär ist.

08.06.2010, 18:11

Jana89

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für das schön schreiben smile

smile

.

Gut, aber was habe ich dann bei der LU falch gemacht?
Sollte ich einfach "nur" noch dazu schreiben, dass alle a=0, b=0, c=0, d=0 ?

Woher weiß ich denn (ohne zu wissen, dass die 4 Vektoren eine Basis bilden), dass die Dimension 4 ist?
Ist das einfach für M(2x2,R) so definiert?

Und zum schluss, was bedeutet das Gleichungssystem ist REGULÄR?

Anzeige

08.06.2010, 18:16

Jana89

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, meine erste Frage, habe ich verstanden.
Also, dass daraus FOLGT, dass a=b=c=d=0.....
Hast du ja extra groß geschrieben.

08.06.2010, 18:18

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

OK ... das sind ja gleich mehrere Fragen auf einmal. Big Laugh

Big Laugh

Deine Formulierung für die LU ist falsch, dein Verständnis aber wahrscheinlich richtig. Ich zitiere mal Wiki:

Zitat:

In der linearen Algebra wird eine Familie von Vektoren eines Vektorraums linear unabhängig genannt, wenn sich der Nullvektor nur durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt, in der alle Koeffizienten der Kombination auf den Wert Null gesetzt werden.

Du stellst also die Gleichung auf, und als Ergebnis darf ausschließlich die Null für alle Koeffizienten herauskommen. Formal schreibt man das so auf:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i = 1}^{n}~a_i \cdot v_i = 0 \Rightarrow a_i = 0 \; \forall \;i \end{eqnarray*}$

Die Rückrichtung gilt sowieso immer. Strenggenommen hast du geschrieben, wenn alle Koeffizienten in der Gleichung gleich Null sind, dann sind die Vektoren linear unabhängig. Stimmt aber nicht, denn dann ergibt sich eben immer die Null.

Wenn du nicht weißt, dass der VR 4-dimensional ist, dann musst du noch weiter arbeiten (hätte ja sein können, dass das in der Vorlesung dran war).

Regularität hattet ihr noch nicht? Es bedeutet, dass diese Matrix vollen Rang hat (hier also Rang 4) oder invertierbar ist oder eine Determinante, die nicht gleich Null ist. Ist alles äquivalent.

Edit: Gut, dass du schon vor meiner Antwort die eine Sache verstanden hast. smile

smile

08.06.2010, 18:54

Jana89

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, Regularität hatten wir leider noch nicht. Ich habe aber morgen noch eine Vorlesung, vielleicht kommt das ja dann noch...
Vielleicht aber auch nicht...
geht es noch auf einem anderen Wege?
Oder ich les mal nach und versuch das mit dem Rang.
An welcher Matrix muss ich das denn nachprüfen?
Also an dieser:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

?

08.06.2010, 19:10

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, um die geht es.

08.06.2010, 19:26

Heidi19

Auf diesen Beitrag antworten »

eigentlich sieht man ja schon, dass der Rang voll ist, da man ja keine Nullzeile bekommen kann.Oder?
Und das sagt mir jetzt, dass dies ein Erzeugendensystem ist oder das die Dimension 4 ist?

08.06.2010, 19:33

Jana89

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja stimmt, so habe ich das auch gedacht.
Jetzt muss nur noch wer zustimmen.

08.06.2010, 20:37

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Woran "sieht" man das? Ihr müsstet sie zum Beispiel auf Zeilenstufenform (und genau, ohne Nullzeile) bringen. "Sehen" kann man das nicht einfach so.

08.06.2010, 22:58

Jana89

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay,

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 0 &2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist das soweit richtig in zeilenstufenform gebracht?

Also sieht man ja rang=4

und damit dim=4 oder sagt mir das dann, dass dies ein erzeugendes system ist?

08.06.2010, 23:02

Jana89

Auf diesen Beitrag antworten »

Die letzten 4 zahlen sollen eine zeile drunter.

08.06.2010, 23:45

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Schaut gut aus. Ich hab das jetzt nicht explizit nachgerechnet (aber die Determinante ist schon mal gleich).

Das wäre dann also erledigt. Gut! Freude

Freude

Erzeugendensystem + LU -> Basis. smile

smile

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »