Potentialfeld

08.06.2010, 17:56

Jürgen21

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Potentialfeld

Hi,
ich habe eine Aufgabe, aus der aus dem Potentialfeld ein Vektorfeld gemacht werden soll, mit $\begin{eqnarray*} \vec E=-grad(\varphi) \end{eqnarray*}$

Das Feld ist das folgende:

$\begin{eqnarray*} \varphi=3\vec{r}^2+\frac 1 {{\vec r}^2} \end{eqnarray*}$

Aber ist das nicht schon ein Vektorfeld? Oder kann ich daraus irgendwie ein Skalar machen?

08.06.2010, 17:59

system-agent

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Das ist zunächst einmal murks. Vektoren kann man nicht multiplizieren, dh $\begin{eqnarray*} \vec{r}^2 \end{eqnarray*}$ ist sinnlos, geschweige denn dividieren...

Aber vielleicht meinst du ja anstatt $\begin{eqnarray*} \vec{r}^2 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \|\vec{r}\|^2 \end{eqnarray*}$ , also die Norm des Vektors ins Quadrat?

08.06.2010, 18:03

Cel

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Vielleicht ist das "Mal" im r^2 auch als Skalarpodukt zu verstehen? Würde sich mit deinem Vorschlag decken, system-agent ... Wir haben tw. eine solche Notation genutzt. (Bin auch schon wieder weg ...)

08.06.2010, 18:06

Jürgen21

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Es steht so in der Aufgabe. Die rs sind fett gedruckt. dann steht noch da: $\begin{eqnarray*} r=(x;y;z)^T \end{eqnarray*}$ auch hier ist das r fett gedruckt.

08.06.2010, 18:10

system-agent

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Ich bleibe dabei, die Notation ist für den Mülleimer. Also nehme ich mal an dass Mr. Brightside recht hat, dann gilt also
$\begin{eqnarray*} \vec{r}^2=x^2+y^2+z^2 \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ eine Funktion von 3 Variablen. Insbesondere ist $\begin{eqnarray*} \varphi(x,y,z)\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , also ist es ein Skalarfeld. Nun mache daraus wie angegeben ein Vektorfeld, dh berechne den Gradienten.

08.06.2010, 18:13

Jürgen21

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Gut da habe ich:

$\begin{eqnarray*} \vec E= \vec r \cdot(\frac 2 {r^4}-6) \end{eqnarray*}$

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08.06.2010, 18:18

system-agent

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Ich habe ein anderes Vorzeichen gekriegt...

08.06.2010, 18:25

Jürgen21

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Hast du das E=-grad phi berücksichtigt?

08.06.2010, 18:28

system-agent

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Ui, stimmt Hammer

Hammer

. Danke!

Beachte trotzdem was im Nenner eigentlich steht, aber was man dieser Notation nicht mehr ansieht:
Zuerst mache das Skalarprodukt von $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ mit sich selbst und dann quadriere diese erhaltene Zahl.

08.06.2010, 18:32

Jürgen21

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Hat das einen Nachteil, wenn man den Nenner im ersten Term so schreibt? Ich könnte natürlich auch

$\begin{eqnarray*} (x^2+y^2+z^2)^2 \end{eqnarray*}$ schreiben. Oder was meinst du?

In einem anderen Aufgabenteil sind jetzt noch die Punkte gesucht, für die |E| ein Minimum hat. Wie löst man das jetzt am besten?

08.06.2010, 18:36

system-agent

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Der Nachteil ist, dass man irgendwann vielleicht mal den Überblick verliert, was denn nun Vektoren sind, was sind nur Zahlen etc. Wie schon erwähnt, Vektoren kann man nicht einfach multiplizieren und dividieren.
Aber gut, wenn alle immer wissen was für was steht, dann sollen sie es so schreiben.

Nun Berechne dann erstmal $\begin{eqnarray*} |E| \end{eqnarray*}$ [hier steht jetzt interessanterweise wieder der Betrag; mit deiner obigen Notation müsste man hier auch $\begin{eqnarray*} \vec{E}^2 \end{eqnarray*}$ schreiben].

Insbesondere ist $\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=|E(x,y,z)| \end{eqnarray*}$ wieder ein skalare Funktion.

Nun Stichworte: Gradient, Nullstellen, Hessematrix...

08.06.2010, 18:49

Jürgen21

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Also die Notation ist nciht von mir, sondern aus meinem Übungsbuch.

Ich schreib es am besten mal mit kartesischen Koordinaten:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+y^2+z^2)} (\frac2{{(x^2+y^2+z^2)}^2}-6) \end{eqnarray*}$

Wie verfährt man jetzt? Ich habe da leider noch nicht so die Routine. Das ist meine erste Aufgabe dieser Art.

08.06.2010, 18:56

system-agent

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Nein

unglücklich

. Gerade deshalb gewöhn dir diese Murksschreibweise garnicht erst an.
Das erste $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ war ein Vektor, das im Nenner ist richtig.

Es ist tatsächlich
$\begin{eqnarray*} \vec{E}(x,y,z)=(x,y,z)\cdot\left(\frac{2}{(x^2+y^2+z^2)^2}-6\right) \end{eqnarray*}$ .
Es ist schliesslich auch ein Vektorfeld...

08.06.2010, 19:04

Jürgen21

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Das sollte eigentlich der Betrag von E sein.

08.06.2010, 19:05

system-agent

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Dann rechne es aus Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

08.06.2010, 19:10

Jürgen21

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Was ausrechnen? War das jetzt für den Betrag richtig?
$\begin{eqnarray*} |\vec E|=\sqrt{x^2+y^2+z^2)} (\frac2{{(x^2+y^2+z^2)}^2}-6) \end{eqnarray*}$

08.06.2010, 19:17

system-agent

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Achso das war dein Vorschlag zum Betrag. Dann ist es gut. Es fehlt noch ein Betrag um den Teil in der Klammer.

08.06.2010, 19:51

Jürgen21

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Ja genau. Nur wie ermittle ich jetzt das Minimum?

08.06.2010, 19:54

system-agent

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Hier würde ich sogar die Summe mit der Wurzel und den Quadraten stehenlassen.

Nun wie gesagt: Gradient ausrechnen, Nullstellen suchen, mit der Hessematrix überprüfen...Das solltest du sicher schon gemacht haben.

08.06.2010, 20:04

Jürgen21

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Zitat:

Original von system-agent
Hier würde ich sogar die Summe mit der Wurzel und den Quadraten stehenlassen.

Wie meinst du das?

Also so eine Aufgabe rechne ich heute zum ersten mal. Wir hatten in der Vorlesung mal Extremstellen bei mehreren Variablen. Da haben wir die Partiellen Ableitungen 0 gesetzt.

08.06.2010, 20:10

system-agent

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Den Term in der Klammer nicht aus der Wurzel herausnehmen so wie du es wohl getan hast.

Na also, dann hast du es doch schon gemacht. Aber ich fürchte dass dies ziemlich hässlich ist zu tun.

08.06.2010, 20:16

Jürgen21

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Hmm kann ich das nciht auch einfach schreiben als:

$\begin{eqnarray*} |\frac 2 {r^4} -6|\cdot r=|\frac 2 {r^3}-6r| \end{eqnarray*}$

Das Ganze wie eine Variable behandeln, und nach dr differenzieren, und das dann 0 setzen?

08.06.2010, 20:17

system-agent

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Ich habe es dir vorher schon einmal gesagt: $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ist ein Vektor, keine Zahl.

08.06.2010, 20:19

Jürgen21

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Ja aber durch den Betrag wird doch daraus eine Zahl, oder etwa nicht?

08.06.2010, 22:35

system-agent

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Durch den Betrag schon, aber in den Betrag musst du auch etwas definiertes stellen, aber $\begin{eqnarray*} \vec{r}^3 \end{eqnarray*}$ ist schlicht undefiniert. Und Quotienten von Vektoren genauso. unglücklich

unglücklich

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