Beweis lim x->0 f(x)=cos(x)^g(x)

08.06.2010, 18:31

Jan S

Beweis lim x->0 f(x)=cos(x)^g(x)

Meine Frage:
Hiho, wir hatten diese Woche auf unseren Übungszetteln für die Uni ein paar Grenzwerte zu berechnen.
Unter anderem auch von der Funktion

f(x)=(cos(x))^cot(x) für lim x->0+

Nun hab ich mir einfach gedacht: cos(x) für x->0 ist 1, und 1 hoch irgendwas bleibt 1. War also für mich ein Einzeiler, was mich irgendwie schon ein wenig gewundert hat. Laut unserem Prof hätte man das ganze als e-Funktion umschreiben müssen um dann den L'Hospital anwenden zu können. Dabei kommt übrigens auch 1 raus. Meine Lösung würde laut unserem Prof in der Klausur nun aber keine Punkte bringen, da es nicht immer so wäre wie in diesem Fall. Ein konkretes Beispiel konnte er mir aber auch nicht nennen. Daher würde ich gerne entweder ein Gegenbeispiel haben, oder zu beweisen, dass auch meine Lösung immer gilt smile

Meine Ideen:
Also müsste ich nun beweisen, dass gilt:

f:R->R , g:R->R
lim x->0 f(x)=lim x->0 (cos(x))^g(x) = 1

Da bin ich aber mit meiner bisherigen Mathematik irgendwie schon am Ende angelangt, zumindest weiß ich nicht wie und was ich da jetzt machen soll. Also hätte ich gerne einen Tipp o.Ä. wie ich da weitermachen kann smile

mfg

08.06.2010, 18:35

IfindU

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$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \neq 1 \end{eqnarray*}$

Obwohl 1+1/n gegen 1 geht.

Du wirst also Probleme haben die Aussage zu beweisen, weil sie falsch ist.

08.06.2010, 18:39

sergej88

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Nehme mal $\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{1}{x^2}, \sqrt{ln(x)}, ... \end{eqnarray*}$

Die Forderung, dass g auf ganz R definiert sein muss habe ich jedoch fallen gelassen, da es ja 1/tan genausowenig ist Augenzwinkern

mfg

10.06.2010, 17:30

Jan S.

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Aber was wäre denn nun, wenn ich vorraussetze, dass g(x) zumindest in 0 definiert ist. Dann dürfte meine Aussage doch richtig sein? Und somit könnte ich dann in der Klausur, mit Hinweis auf die Definiertheit in 0 von g(x) mir doch das umschreiben zur e-Fkt sparen!?!?

mfg

10.06.2010, 18:26

Julian@mb

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Das Umschreiben zur e-Fkt geht vermutlich schneller.

10.06.2010, 18:42

Mystic

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Zitat:

Original von Jan S.
Aber was wäre denn nun, wenn ich vorraussetze, dass g(x) zumindest in 0 definiert ist. Dann dürfte meine Aussage doch richtig sein? Und somit könnte ich dann in der Klausur, mit Hinweis auf die Definiertheit in 0 von g(x) mir doch das umschreiben zur e-Fkt sparen!?!?
mfg

g(x)=cot(x) ist für x=0 defineirt oder wie soll man das verstehen... verwirrt

Du solltest einmal ein paar einfachere Beispiele von dieser Sorte ausprobieren, z.B.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \left( (1-sin^2 x)^{- \frac 1{sin^2 x} }\right)^{-\frac {\sin x \cos x}2} \end{eqnarray*}$

nur mal schnell zum Aufwärmen, vielleicht siehst du dann ja sogar einen Zusammenhang mit deiner Aufgabe... Big Laugh

10.06.2010, 19:19

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Zitat:

Original von Jan S.
Aber was wäre denn nun, wenn ich vorraussetze, dass g(x) zumindest in 0 definiert ist.

Das nützt überhaupt nichts. Hinreichend für

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} (\cos(x))^{g(x)} = 1 \end{eqnarray*}$

wäre allenfalls z.B., wenn du eine Umgebung der 0 findest, wo $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ beschränkt bleibt. Dummerweise trifft das auf $\begin{eqnarray*} g(x)=\cot(x) \end{eqnarray*}$ nicht zu,
da kannst du $\begin{eqnarray*} g(0) \end{eqnarray*}$ zusätzlich definieren, wie du willst. Augenzwinkern

Zur eigentlichen Lösung nur soviel: Lies dir Mystics Beitrag genau durch.

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