Lineare Abbildung, Frage zu Aufgaben

08.06.2010, 19:33

Farmosch

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Lineare Abbildung, Frage zu Aufgaben

Meine Frage:
Also wir haben folgende Aufgabe gegeben:

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[attach]15092[/attach]

Meine Ideen:
um zu zeigen dass $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ linear ist zeigt man ja, dass
$\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ (a+b) = $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ (a)+ $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ (b), dabei kommen bei mir aber unterschiuedliche Werte raus wenn ich das alles ausmultipliziere...

Bei der B habe ich es mit Basis <1,x,x².x³.x^4> versucht, komme dann aber bei $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ (x²) auf x^6 welches ja gar nicht im Körper ist...

Bei Teil c würd ich dann einfach den Kern von der Matrix aus Teil b nehmen, da dies ja auch die Abbildungsmatrix sein sollte (wenn ich das richtig verstehe)

und bei Teil d.. ja da hab ich noch keinen Ansatz zu, steh hier momentan ziemlich aufm schlauch... Danke für jede Hilfe.

Gruß

08.06.2010, 20:38

Iorek

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Dann zeig doch mal deine Rechenschritte, die Abbildung ist nämlich linear, also kann es sich nur um einen Rechenfehler handeln.

Gleiches gilt für Aufgabe 2.

08.06.2010, 22:22

Farmosch

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a.)
$\begin{eqnarray*} f(x) = a_{0} + a_{1} x^1 +a_{2} x^2 +a_{3} x^3 +a_{4} x^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f\prime(x) = a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f\prime\prime (x) = 2a_2+6a_3x+12a_4x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \varphi = f\prime\prime(x) + x*f\prime(x)-f(x+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =2a_2+6a_3x+12a_4x^2+x*(a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3)-(a_{0} + a_{1} (x+1)^1 +a_{2} (x+1)^2 +a_{3} (x+1)^3 +a_{4} (x+1)^4) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =2a_2+6a_3x+12a_4x^2+a_1x+2a_2x^2+3a_3x^3+4a_4x^4-a_0-a_1x-a_1-a_2x^2-2a_2x-a_2-a_3((x^2+2x+1)(x+1))-a_4((x^2+2x+1)(x^2+2x+1)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =(a_0-a_1+a_2-a_3-a_4)+(-4a_4+3a_3-2a_2)*x+(6a_4-3a_3-a_2)*x^2+(2a_2+2a_3-4a_4)*x^3+3a_4x^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_1+c_2*d+c_3*d^2+c_4*d^3+c_5*d^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} + c_1+c_2*e+c_3*e^2+c_4*e^3+c_5*e^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =2c_1+c_2*(d+e)+c_3*(d^2+e^2) + c_4*(e^3+d^3)+c_5(d^4+e^4) \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun für x (c+d) einsetze, erhalte ich am anfang ja schon nur c_1 anstatt 2c_1, also kann es unabhaengig vom Rest nicht Richtig sein, oder?

Habe ich mich wieder verrechnet oder was falsch gemacht? Denn so komme ich auf kein ergebnis.

08.06.2010, 22:25

Iorek

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Ich würde dir zu einer abkürzenden Schreibweise raten; $\begin{eqnarray*} f(x)=\sum\limits_{i=0}^4 a_ix^i,~f'(x)=\sum\limits_{i=0}^4 i\cdot a_i x^{i-1} \end{eqnarray*}$ und so weiter. Damit vermeidest du diese elends langen Gleichungen und kannst das ganze in 3-4 Zeilen abhaken (benutze dabei die Linearität der Summe).

Edit: Wo kommen deine c eigentlich her? verwirrt

verwirrt

08.06.2010, 22:38

Farmosch

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Die C sind das ganze a gerümpel vor den X, wollte das net immer abtippen Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber angenommen ich nutz die Summenformeln:
$\begin{eqnarray*} f''(x) = \sum_0^4 i*(i-1)*x^{i-2} \end{eqnarray*}$

Und nehmen wir nun an, i = 4 und x = d+e, dann haben wir doch
$\begin{eqnarray*} 4*3*(d+e)^{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \not = 4*3*d^{2} + 4*3*e^{2} \end{eqnarray*}$

also ich komm da net drauf klar ^^

08.06.2010, 22:45

Iorek

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Wieso nimmst du i=4 an? i ist dein Laufindex der Summe...

Damit deine Abbildung linear ist muss $\begin{eqnarray*} \varphi(\lambda f+g)=\lambda\varphi(f)+\varphi(g) \end{eqnarray*}$ gelten: $\begin{eqnarray*} \varphi(f(x))=\sum\limits_{i=0}^4 (i\cdot (i-1)\cdot a_i \cdot x^{i-2})+x\cdot\sum\limits_{i=0}^4(i\cdot a_i\cdot x^{i-1})-\sum\limits_{i=0}^4 (a_i\cdot (x+1)^i) \end{eqnarray*}$

Dafür musst du jetzt die Linearität wie angegeben nachweisen, nicht indem du für i irgendwas einsetzt...

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08.06.2010, 22:52

Farmosch

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ich hab das ja nur als einen Spezialfall rausgegriffen gehabt, ich meine ansich muss man ja i = 0,...,4 einsetzen, aber wenn einer schon net stimmt, passt doch auch der Rest nicht.

In meinen Rechnung komme ich durch die Potenzen immer auf was anderes für
X = (c+d) und (x = c) + (x= d) [den andern Teil mit Lambda lass ich ersmal weg, da es dass grad für mich unübersichtlicher macht und wir dass idr in 2 schritten machen]

Und ausser mit einsetzen für x und dann ausrechnen und damit zeigen, dass es für beide Fälle gleich ist, hab ich keine AHnung wie ich das zeigen soll und beim einsetzen komme ich nie auf Gleichheit (ich scheine irgendwo in einer Denksenke zu haengen)

08.06.2010, 23:00

Iorek

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Also nur weil es für i=4 nicht stimmt, stimmt es komplett nicht? Wieso sollte das denn so sein? Du addierst doch mehere Sachen, also musst du auch das gesamte betrachten.

Und was willst du mit "(x=c)+(x=d)" ausdrücken? Dein x hat doch nicht direkt was mit der Linearität zu tun...

Guck dir am besten nochmal genau die Definition von Linearität an und wie man diese nachweist, mir scheint dir ist nicht ganz klar was du genau machen sollst.

08.06.2010, 23:09

Farmosch

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Ja doch, man soll u.a. zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \varphi(d+e) = \varphi(d) + \varphi(e) \end{eqnarray*}$ ist. Und in den Fällen setz ich doch für x (d+e) bzw einmal d und einmal e ein, und die beiden Seiten müssen dann gleich sein. Also:

$\begin{eqnarray*} \varphi(f(d+e))=\sum\limits_{i=0}^4 (i\cdot (i-1)\cdot a_i \cdot (d+e)^{i-2})+(d+e)\cdot\sum\limits_{i=0}^4(i\cdot a_i\cdot (d+e)^{i-1})-\sum\limits_{i=0}^4 (a_i\cdot ((d+e)+1)^i) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\varphi(f(d))+\varphi(f(e))=\sum\limits_{i=0}^4 (i\cdot (i-1)\cdot a_i \cdot (d)^{i-2})+(d)\cdot\sum\limits_{i=0}^4(i\cdot a_i\cdot (d)^{i-1})-\sum\limits_{i=0}^4 (a_i\cdot ((d)+1)^i)+\varphi(f(d+e)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} +\sum\limits_{i=0}^4 (i\cdot (i-1)\cdot a_i \cdot (e)^{i-2})+(e)\cdot\sum\limits_{i=0}^4(i\cdot a_i\cdot (e)^{i-1})-\sum\limits_{i=0}^4 (a_i\cdot ((e)+1)^i) \end{eqnarray*}$

Oder ist das so falsch? Also so versteh ich das aus meiner Mitschrift, sollte ich da aufm Holzweg sein, werd ich nochmal danach googlen.

Edit: Oder soll es nicht für verschiedene x in dem Fall gezegit werden, sondern für 2 Funktionen g und f, also unabhängig von x?

08.06.2010, 23:15

Iorek

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Zitat:

Original von Farmosch
Edit: Oder soll es nicht für verschiedene x in dem Fall gezegit werden, sondern für 2 Funktionen g und f, also unabhängig von x?

Genau das ist der Punkt.

Du nimmst dir zwei Elemente deines Vektorraums,
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum\limits_{i=0}^4 a_i x^i,~g(x)=\sum\limits_{i=0}^4 b_i x^i \end{eqnarray*}$ , für die zeigst du jetzt, dass $\begin{eqnarray*} \varphi(f(x)+g(x))=\varphi(f(x))+\varphi(g(x)) \end{eqnarray*}$ gilt.

08.06.2010, 23:15

Farmosch

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Glaube ich habs nun kapiert, dass ich 2 verschiedene Funktionen aus der Menge nehmen muss, die sich ja in $\begin{eqnarray*} a_0,...,a_4 \end{eqnarray*}$ dann unterscheiden und dass dafür zeigen. Hab das irgendwie vorher ausgeblendet, da wir sowas noch nicht wirklich hatten und bei unserm netten Dozenten nie wirklich was sauber erklärt wird.

Auch wenn mir das bei der B, C, D noch net so hilft, werds mir nachher/morgen mal anschaun und mich dann evtl. nochmal melden.

Gruß

08.06.2010, 23:18

Iorek

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Darf ich fragen wo du diese Aufgabe her hast? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Für die weiteren Aufgaben hilft dir das auch (vor allem die Tatsache, dass die Abbildung linear ist), und wenn jetzt weißt, dass deine Vektoren in diesem Fall Funktionen sind, ist das auch schon viel wert smile

smile

08.06.2010, 23:20

Farmosch

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Dirket nochmal zu der B,

die Basis die ich im ersten Post angegeben hatte ist dann ja auch nicht richtig. Eine Basis müsste dann doch f(x) mit jeweils einem $\begin{eqnarray*} a_i \not = 0 \end{eqnarray*}$ sein, also aus 5 Funktionen bestehen.

Die Aufgaben sind von unserem aktuellen Übungsblatt von LA I, als LA für Informatiker anner RWTH Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.06.2010, 23:26

Iorek

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Die Basis stimmt schon, da gibts nichts dran auszusetzen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} (1,x,x^2,x^3,x^4) \end{eqnarray*}$ sind als Polynome aufgefasst sicher linear unabhängig, also ist das eine Basis deines Vektorraums.

08.06.2010, 23:31

Farmosch

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Joa is schon spät, entspricht ja genau meiner letzten Aussage, wenn alle bis auf ein a_i 0 sind ^^

Denke damit habe ich die A und die B verstanden.

Seh ich das richtig, dass ich in der C en Nullraum, bzw Kern der Matrix aus B bestimmen muss? Weil ansonsten steh ich wieder total aufm schlauch. Haben das nämlich inner VL einmal für ne Matrix gemacht und das is alles was ich davon mitbekommen habe XD

Und hast du für Aufgabe D irgendwelche Tips? Da hat mir alles grübeln bisher keine Idee beschert.

Gruß und Danke schonmal für doe bisherige Einsichtstheorie ^^

08.06.2010, 23:37

Iorek

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Ja, die c) lässt sich auf ein homogenes GLS redzuieren mit der Matrix aus b).

Und für die d), was für Vorteile hat es denn, wenn man die Matrix $\begin{eqnarray*} M_\mathcal{B}^\mathcal{B}(\varphi) \end{eqnarray*}$ aufstellt, was für einen Nutzen hat man davon zur Berechnung von $\begin{eqnarray*} \varphi(f(x)) \end{eqnarray*}$ bei dieser Aufgabe?

08.06.2010, 23:40

Farmosch

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Also Intuitiv würd ich sagen, dass es die Abbildungsmatrix von Phi ist, aber ich werd nun ersmal die a,b,c rechnen und mir morgen in neuer Frische die d anschauen denke ich Augenzwinkern

Augenzwinkern

Werd mich dann sicherlich wieder hier melden Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gibt ja auch noch ne zweite Aufgabe auf dem Blatt *gg*

Wünsche eine angenehme nachtruhe

08.06.2010, 23:43

Iorek

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Vllt. noch für die d), die geht sehr ähnlich wie die c)...

09.06.2010, 08:32

Farmosch

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Hatte gestern Abend / letzte Nacht im Bett noch ne Idee zur d, wenn dass die Abbildungsmatrix ist, muss ich ja nur Ax = b lösen wobei g(x) dann ja mein b wäre und x die gesuchte Funktion.

Werd das nachher mal so ausprobieren und dann kann ich ja direkt durch einsetzen in $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ testen obs stimmt Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.06.2010, 16:26

Farmosch

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erledigt mit großem Dank an Iorek fuer seine Tatkräftige Unterstützung!

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