Ähnlichkeit (Identität zeigen)

08.06.2010, 20:42

Evelyn89

Ähnlichkeit (Identität zeigen)

Hallo!

zu zeigen ist:

Für $\begin{eqnarray*} A\in K^{nxn} : A^2=E_n \Longleftrightarrow A=TDT^{-1} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} D=\begin{pmatrix} \pm1 &0...&&& ...0 ...&...0 \\0&\pm1&0..&&&...0\\0&&\pm1&&&...0\\ .\\&&&..\\&&&...\\0...&&...&&...0.. & \pm1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} T\in GL(n,\mathbb K) \end{eqnarray*}$ eine invertierbare Matrix.

Es ist also zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} A^2=E_n \end{eqnarray*}$ genau dann wenn A ähnlich zu einer Diagonalmatrix mit Diagonalelementen $\begin{eqnarray*} \pm1 \end{eqnarray*}$ ist.

Die Richtung " $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ " habe ich schon geschafft.

Bei der Richtung " $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ " habe ich aber Schwierigkeiten.

Alles was ich bis jetzt herausgefunden habe ist:

$\begin{eqnarray*} A^2=E_n \Leftrightarrow AA=E_n \Leftrightarrow A=A^{-1} \end{eqnarray*}$

Dementsprechend müsste A zu sich selbst invers sein.
Aber das bringt mich irgendwie nicht weiter.
Wäre echt toll, wenn mir jemand helfen könnte. Freude

Edit: Tippfehler im Titel korrigiert. Gruß, Reksilat.

08.06.2010, 22:04

gonnabphd

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Hi, ich hab mal bisschen an der Aufgabe rumprobiert. smile

Ich denke mal, es ist offensichtlich, dass A als Eigenwerte nur $\begin{eqnarray*} 1, -1 \end{eqnarray*}$ haben kann.

Denn $\begin{eqnarray*} v= E \cdot v = A^2 v = ... \end{eqnarray*}$ für jeden Eigenvektor von A.

Wenn nun das charakteristische Polynom $\begin{eqnarray*} P_A \end{eqnarray*}$ von A in Linearfaktoren zerfällt (sollte es doch in diesem Fall eigentlich?!), dann hätte ich eine Idee für die Lösung:

Nach dem Satz über die Hauptraumzerlegung gilt:

$\begin{eqnarray*} K^n = Hau(A;1) \oplus Hau(A;-1) \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} 1, -1 \end{eqnarray*}$ die beiden Eigenwerte von A sind (s.o.).

Nun gilt: $\begin{eqnarray*} Hau(A;\lambda) = Ker \left( (A-\lambda E)^r \right) \end{eqnarray*}$

wobei r die Vielfachheit der Nullstelle des char. Pol. bei $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist.

Im Falle r=2 ist aber für $\begin{eqnarray*} |\lambda|=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (A-\lambda E)^2 = A^2 -2\lambda A + \lambda^2 E = -2\lambda(A-\lambda E) \end{eqnarray*}$

Und daher $\begin{eqnarray*} Eig(A;\lambda) = Ker(A-\lambda E) = Ker(-2\lambda (A-\lambda E)) = Hau(A;\lambda) \end{eqnarray*}$

Würde das nun auch im allgemeinen Fall gelten - wovon ich ausgehe - dann wäre damit gezeigt, dass

$\begin{eqnarray*} K^n = Eig(A; 1) \oplus Eig(A;-1) \end{eqnarray*}$

und damit wäre A diagonalisierbar.

Wink

08.06.2010, 22:53

Evelyn89

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Vielen Dank für deine Hilfe!
Ich hab mir das angeschaut und konnte deine Argumentation nachvollziehen.
Finde auch alles soweit gut. Es gibt da nur einen kleinen Haken:

1.) Wir hatten noch keine Haupträume, deshalb bin ich mir nicht so sicher, ob ich den Satz über die Hauptraumzerlegung benutzen darf. Normalerweise ist es ja so, dass man nur Sätze benutzen darf, die schon in der Vorlesung/Übung bewiesen wurden.

2.) Du setzt voraus, dass das charakteristische Polynom $\begin{eqnarray*} P_A \end{eqnarray*}$ in Linearfaktoren zerfällt.
Aber leider ist die einzige Voraussetzung, dass für $\begin{eqnarray*} A\in \mathbb K^{nxn} : A^2=E_n \end{eqnarray*}$ .
Mehr darf ich gar nicht benutzen.... traurig

Aber trotzdem vielen Dank für deine Mühe. Freude

Ich hab da aber noch eine Frage an dich:

Du hast ja gezeigt, dass A diagonalisierbar ist. Die eigentliche Aufgabe bestand ja aber darin, dass A ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist, also dass $\begin{eqnarray*} A=TDT^{-1} \end{eqnarray*}$ gilt, wenn wir mal meine Notation beibehalten.

Ist das im Prinzip dasselbe? Also wenn ich gezeigt habe, dass A diagonalisierbar ist, dann ist A ähnlich zu einer Diagonalmatrix ??
(Vorausgesetzt sie haben die gleichen Einträge auf der Diagonalen)

08.06.2010, 23:19

gonnabphd

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Hi Evelyn.

Zitat:

2.) Du setzt voraus, dass das charakteristische Polynom $\begin{eqnarray*} P_A \end{eqnarray*}$ in Linearfaktoren zerfällt.

Ich hab mir das nochmal überlegt: Da alle Nullstellen von $\begin{eqnarray*} P_A \end{eqnarray*}$ Eigenwerte von A sind, kann $\begin{eqnarray*} P_A \end{eqnarray*}$ nur Nullstellen bei 1, -1 haben. Folglich zerfällt das Polynom in Linearfaktoren. Und zwar ist:

$\begin{eqnarray*} P_A(t) = \pm (t-1)^r(t+1)^s \quad \text{mit } r+s=n \end{eqnarray*}$

Zitat:

1.) Wir hatten noch keine Haupträume, deshalb bin ich mir nicht so sicher, ob ich den Satz über die Hauptraumzerlegung benutzen darf. Normalerweise ist es ja so, dass man nur Sätze benutzen darf, die schon in der Vorlesung/Übung bewiesen wurden.

Hmm, dann könnte man z.B. versuchen, direkt zu zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} K^n = Eig(A;1) \oplus Eig(A;-1) \end{eqnarray*}$

gilt. Hab' das allerdings noch nicht versucht, und weiss daher auch nicht welche Probleme auftauchen könnten/werden.

Zitat:

Du hast ja gezeigt, dass A diagonalisierbar ist. Die eigentliche Aufgabe bestand ja aber darin, dass A ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist, also dass $\begin{eqnarray*} A=TDT^{-1} \end{eqnarray*}$ gilt, wenn wir mal meine Notation beibehalten.

Ja, dass A diagonalisierbar ist, heisst ja gerade, dass es ein solches T gibt, so dass

$\begin{eqnarray*} TAT^{-1} = D =\begin{pmatrix} \lambda_1 &0...&&& ...0 ...&...0 \\0& \lambda_2&0..&&&...0\\0&& \lambda_3&&&...0\\ .\\&&&..\\&&&...\\0...&&...&&...0.. & \lambda_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \lambda_1, ..., \lambda_n \end{eqnarray*}$ die (nicht unbedingt verschiedenen) Eigenwerte von A sind.

09.06.2010, 10:42

jester.

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Man könnte wohl auch so argumentieren: Gilt $\begin{eqnarray*} A^2=E_n \end{eqnarray*}$ , dann teilt das Minimalpolynom $\begin{eqnarray*} \mu_A(X)\in K[X] \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ das Polynom $\begin{eqnarray*} X^2-1=(X-1)(X+1) \end{eqnarray*}$ , woraus sofort die Behauptung folgt. Ist dir klar, warum das so ist?

09.06.2010, 17:41

gonnabphd

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@jester: Wow, sehr schöne Antwort. Freude

Ich hab' mich wohl noch immer nicht mit den Minimalpolynomen und ihrer Nützlichkeit angefreundet. smile

09.06.2010, 18:05

Evelyn89

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Wir hatten leider noch kein Minimalpolynom, deswegen kann ich deinen Beweis auch nicht ganz nachvollziehen.

Könnt ihr mir vielleicht kurz sagen was das ist bzw. was der Unterschied zwischen dem Minimalpolynom und dem charakteristischen Polynom ist??

Auch wenn wir das Minimalpolynom nicht hatten, kann ich ja vielleicht damit agrumentieren- muss es nur verstehen.

Ansonsten denke ich, dass ich den Beweis von gonnabphd nehmen werde.
Dein Beweis schaut ganz gut aus finde ich und ich darf auch alles benutzen was in deinem Beweis auftaucht.

An dieser Stelle Dank an euch beiden.

P.S.: Ich werde mir trotzdem Gedanken wegen der Aufgabe machen und falls ich noch was rausfinde, werde ich das hier mitteilen. smile

09.06.2010, 20:18

jester.

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Das Minimalpolynom eines Vektorraumendomprhismus $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist das eindeutig bestimmte normierte Polynom kleinsten Grades, das $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ annuliert.
Es steckt jedoch nicht wenig hinter der Argumentation, die ich mache. Wenn man das Minimalpolynom nicht kennt: Die Definition des Minimalpolynoms, seine Wohldefiniertheit, sein Grad, etc. Falls man zum Zeitpunkt der Einführung des Minimalpolynoms bereits das charakteristische Polynom kennt, ist auch der Satz von Cayley-Hamilton nicht uninteressant, um den Zusammenhang herzustellen.
Ansonsten ist dann noch wichtig, und das ist das eigentliche Argument, dass genau dann eine Eigenvektorbasis (bzgl. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ) existiert, wenn das Minimalpolynom vielfachheitenfrei in Linearfaktoren zerfällt.

Falls dir all diese Dinge noch nicht geläufig sind, ist es wohl sinnvoller einen konstruktiveren Weg einzuschlagen.

Edit: Hier stand wohl Unsinn - mal sehen ob ich es mit etwas Sinn versehen kann.

09.06.2010, 21:09

Evelyn89

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Hinter dem Minimalpolynom scheint schon ein Brocken Theorie zu stecken.
So wie es aussieht kann ich das dann (leider) nicht benutzen.
Ich werde dann versuchen den Weg von gonnabphd einzuschlagen und versuchen zu zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} dim(Eig(A,1))+dim(Eig(A,-1))=n \end{eqnarray*}$ ist.

Melde mich sobald ich was habe.

10.06.2010, 18:51

jester.

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Zitat:

Original von gonnabphd

Zitat:

2.) Du setzt voraus, dass das charakteristische Polynom $\begin{eqnarray*} P_A \end{eqnarray*}$ in Linearfaktoren zerfällt.

Das finde ich etwas voreilig geschlossen, denn wer sagt dir, dass nicht etwa $\begin{eqnarray*} p_A(X)=(X-1)(X+1)(X^2+1) \end{eqnarray*}$ ist?

Jedoch folgt aus $\begin{eqnarray*} A^2v=E_nv=v~\forall ~ v\in K^{n\times 1} \end{eqnarray*}$ , dass jeder Vektor in $\begin{eqnarray*} K^{n\times 1} \end{eqnarray*}$ Eigenvektor von $\begin{eqnarray*} A^2 \end{eqnarray*}$ ist.
Nehmen wir also an, dass $\begin{eqnarray*} p_A(X)=(X-1)^r (X+1)^s p,~ p\in K[X]\text{ hat keine Nullstellen}, ~\text{Grad}(p)>1 \end{eqnarray*}$ ist.
Daraus folgt jedoch, dass $\begin{eqnarray*} \operatorname{Kern}((A-1)(A+1))\neq K^{n\times 1} \end{eqnarray*}$ , Widerspruch.

Edit: Ich sollte natürlich erwähnen, dass dieses Argument von Manus erdacht wurde.

12.06.2010, 20:39

Evelyn89

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Für diejenigen, die es interessiert. Ich hab die Aufgabe nun gelöst, nachdem ich einen Tipp bekommen habe.

Ich musste ja noch zeigen, dass die beiden Eigenräume eine direkte Summe bilden.

Sei dazu $\begin{eqnarray*} v_0:=x-Ax \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} Av_o=A(x-Ax)=Ax-A^2x=Ax-x=-v_o \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} v_0=x-Ax \end{eqnarray*}$ Eigenvektor zum Eigenwert -1.

Weiterhin sei $\begin{eqnarray*} v_1:=x+Ax \end{eqnarray*}$ , dann folgt:

$\begin{eqnarray*} Av_1=A(x+Ax)=Ax+A^2x=Ax+x=v_1 \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ EV zum EW 1.

Noch zu zeigen: $\begin{eqnarray*} (v_0,v_1) \in \left\{Eig(A,-1)\cup Eig(A,1)\right\} \end{eqnarray*}$ bilden eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb K^{n} \end{eqnarray*}$ .

Zeige also: $\begin{eqnarray*} \exists u\in Eig(A,-1), w\in Eig(A,1) : u+w=v ~~~\forall v \in \mathbb K^{n} \end{eqnarray*}$ .

Sei dazu: $\begin{eqnarray*} u:=\frac{1}{2}\cdot v_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w:=\frac{1}{2}\cdot v_1 \end{eqnarray*}$ .

Dann folgt:

$\begin{eqnarray*} v=u+w=\frac{1}{2}(v-Av+v+Av)=v ~~~ \forall v \in \mathbb K^{n} \end{eqnarray*}$ .

Also bilden (u,w) eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb K^{n} \end{eqnarray*}$ und die Summe:

$\begin{eqnarray*} Eig(A,-1) \oplus Eig(A,1)= \mathbb K^{n} \end{eqnarray*}$ ist eine direkte Summe $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ A ist diagonalisierbar!

12.06.2010, 22:45

gonnabphd

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Ah, der Tipp ist natürlich sehr hilfreich. Leider hast du ihn jedoch falsch verstanden.

Zitat:

Also bilden (u,w) eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb K^{n} \end{eqnarray*}$

Das kann doch bloss für n=2 stimmen...

Jedoch hast du mit den Abbildungen

$\begin{eqnarray*} \varphi: \begin{cases} K^n \rightarrow Eig(A;1) \\ x \mapsto x+Ax \end{cases} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \psi: \begin{cases} K^n \rightarrow Eig(A;-1) \\ x \mapsto x-Ax \end{cases} \end{eqnarray*}$

Projektionen auf die Eigenräume gefunden, so dass

$\begin{eqnarray*} v = \frac{1}{2} \left( \varphi(v) + \psi(v) \right) \qquad \forall \quad v \in K^n \end{eqnarray*}$

Daraus kannst du nun gleich schliessen, dass $\begin{eqnarray*} K^n = Eig(A;1) + Eig(A; -1) \end{eqnarray*}$ ist.

13.06.2010, 13:18

Evelyn89

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Hmm... da hast du natürlich Recht.
Da wir überhaupt nichts zu Projektionen gemacht haben, denke ich, dass ich einfach die Behauptung, dass (u,w) eine Basis bilden weglasse und zeige, dass sich aber dennoch jeder Vektor als Linearkombination der beiden darstellen lässt und damit die Eigenräume eine direkte Summe bilden.

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