Skalarprodukt und Eigenvektor

08.06.2010, 21:01	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Skalarprodukt und Eigenvektor Hallo! Folgendes Problem habe ich: Sei V ein $\begin{eqnarray} \mathbb R - VR, < , > \end{eqnarray}$ Skalarprodukt auf V. Desweiteren sei v ein Einheitsvektor in V und T: V -> V lineare Abbildung. Zeige: v Eigenvektor von T <=> <v,T(v)>^2 = <T(v),T(v)> Ich hab mich jetzt erstmal nur an der Hin-Richtung versucht und da gedacht, dass ich die Polargleichung benutzen kann. Aber das brachte bisher nix Gibt es vielleicht einen Trick den man anwenden sollte oder ist Polargleichung sinnvoll? Danke schon mal für eure Tipps. Lieben Gruß
08.06.2010, 21:07	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, wenn v ein Eigenvektor von T ist, dann gibt es ein $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ so dass: $\begin{eqnarray} T(v) = \lambda v \end{eqnarray}$ nutze dieses und setze es einfach ein... Edit: $\begin{eqnarray} E_2:= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}<br /> ,v := \begin{pmatrix} 2 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Es gilt: $\begin{eqnarray} E_2 v = 1v = v \end{eqnarray}$ also ist v Eigenvektor von E_2 auf dem R^2 Ferner gilt: $\begin{eqnarray} <v,E_2 v>^2 = <v,v>^2 = 4^2 = 16 \not = <E_2 v, E_2 v> = <v,v> = 4 \end{eqnarray}$
08.06.2010, 21:47	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok danke, das ist mir klar. Aber müsste dann nicht die Behauptung falsch sein, du widerlegst sie ja gerade? Aber v soll ja auch ein Einheitsvektor sein...
09.06.2010, 15:41	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ja sehe gerade, dass ich das überlesen habe. JA dann nimm den Tipp vom letzten Post für die Hinrichtung zur Hilfe, dann passt es ja wunderbar. beachte <v,v> = 1 da ja es ein Einheitsvektor ist.. mfg
09.06.2010, 16:16	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke das hab ich jetzt Wie würdest du bei der Rückrichtung am elegantesten vorgehen? Vielleicht mit der Norm irgendwie arbeiten und das lambda hineinbekommen?
09.06.2010, 16:35	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Angenommen v ist kein Eigenvektor, so gilt $\begin{eqnarray} Tv \not = \lambda v, \forall \lambda \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} \lambda^2 = \lambda^2 1^2 = \lambda^2 <v,v>^2 = <v,\lambda v>^2 \not = <v,Tv>^2 = ... \end{eqnarray}$ dabei habe ich beim letzen Schritt ein wenig bedenken. Liegt nun an dir das zu ende zu überlegen... mfg
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