taylorreihe?

08.06.2010, 23:47

analysisisthedevil

taylorreihe?

Bestimmen Sie mit Hilfe einer Taylorentwicklung an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_{0}=0 \end{eqnarray*}$ ein Näherungspolynom
dritten Grades für die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)=x\cdot cos(2x) \end{eqnarray*}$

was genau soll eine taylorentwiclung sein???habe das noch nie gehört.

08.06.2010, 23:50

Cel

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Noch nie gehört? Arbeitest du vor? Schau mal zuerst bei Wikipedia rein.

Ganz grob: Du brauchst erst mal die ersten drei Ableitungen.

09.06.2010, 00:06

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von Mr. Brightside
Noch nie gehört? Arbeitest du vor? Schau mal zuerst bei Wikipedia rein.

Ganz grob: Du brauchst erst mal die ersten drei Ableitungen.

ja,ich arbeite vor.deswegen bin ich auch dauernd auf matheboard.de weil ich öfters ins hängen komme deshalb.

ok ersten drei ableitungen:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=cosx-2x\cdot sin(2x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=-sinx-(2sin(2x)+4x\cdot cos(2x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=-cosx-(4cos(2x)+(4cos(2x)-8xsin(2x)) \end{eqnarray*}$

nun,der wiki-artikel hat mir jetz nich allzuviel aufschlußgegeben .

ich hab allerdings rausgefunden,das ich wegen $\begin{eqnarray*} x_{0}=0 \end{eqnarray*}$ einen spezialfall habe und die sogennante mac-lauren formel anwenden muss.

09.06.2010, 01:15

analysisisthedevil

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ok ersten drei ableitungen:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=cosx-2x\cdot sin(2x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=-sinx-(2sin(2x)+4x\cdot cos(2x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=-cosx-(4cos(2x)+(4cos(2x)-8xsin(2x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(0)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(0)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(0)=-5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_{3},f(x)=-x- \frac{5}{6} x^{3} \end{eqnarray*}$

ich habs!!!!!ok,für die richtigkeit der werte kann ich jetz nich garantieren,aber das is es glaube ich.

09.06.2010, 02:04

jillejolle

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Hallo
also wenn ich solche Aufgaben rechne, lass ich das immer zur groben Überprüfung mal zeichnen, dann sieht man auch sehr schön, was man da so gemacht hat smile

09.06.2010, 09:15

Cel

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Vom Prinzip ist das alles richtig, aber leider ist bereits deine erste Ableitung falsch. Da du aber immer sowieso 0 einsetzt, wirkt sich das (noch) nicht aus, da z. B.

$\begin{eqnarray*} \cos(2 \cdot 0) = \cos(0) = 1 \end{eqnarray*}$

Allerdings gibt es dann in der dritten Ableitung Probleme. Du musst die Ableitungen noch mal richtig ausrechnen. Dass dieses Polynom nicht die beste Approximation ist, sieht man auch, wenn jillejolles Tipp beherzigt:

09.06.2010, 09:45

Kühlkiste

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Das Ausrechnen von Ableitungen ist zur Übung sicher ne feine Sache.
Sollten aber die elementaren Reihentwicklungen schon bekannt sein, dann würde ich hier auf eine Ableitungsorgie verzichten.

Mit Hilfe der bekannten Taylorentwicklung des Kosinus

$\begin{eqnarray*} \cos(x)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} \end{eqnarray*}$

erhält man direkt

$\begin{eqnarray*} x\cos(2x)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{4^n}{(2n)!}x^{2n+1} \end{eqnarray*}$

und kann Näherungspolynome beliebigen Grades direkt ablesen.

11.06.2010, 21:39

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von Mr. Brightside
Vom Prinzip ist das alles richtig, aber leider ist bereits deine erste Ableitung falsch. Da du aber immer sowieso 0 einsetzt, wirkt sich das (noch) nicht aus, da z. B.

$\begin{eqnarray*} \cos(2 \cdot 0) = \cos(0) = 1 \end{eqnarray*}$

Allerdings gibt es dann in der dritten Ableitung Probleme. Du musst die Ableitungen noch mal richtig ausrechnen. Dass dieses Polynom nicht die beste Approximation ist, sieht man auch, wenn jillejolles Tipp beherzigt:

kann es sein,das du dich geirrt hast?ich glaube die erste ableitung stimmt

11.06.2010, 21:44

blurry331

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Unser Professor meinte das mit den Ableitungen wäre der steinigste Weg.
Man soll es immer mit einer geometrischen reihe versuchen.
Also im Nenner 1-entwicklungspunkt

17.06.2010, 23:13

analysisisthedevil

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Zitat:

hab grad eben gesehen das du recht hattest mit den ableitungen!!

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