Fourierriheentwicklung Integrationsgrenzen

09.06.2010, 11:41

DrTurkelten

Fourierriheentwicklung Integrationsgrenzen

Hallo Leute!

Ich möchte gerne folgende Aufgabe lösen (Papula Bd2 Seite 192-1):

Zerlegen Sie den folgenden Kosinusimpuls in seine harmonischen Komponenten:

$\begin{eqnarray*} u\left(t\right) = \begin{pmatrix} u\cdot cos(t)\ fuer\ -\frac{pi}{2} \leq t\leq \frac{pi}{2} \\ \\0 \ fuer \ \frac{pi}{2} \leq t \leq \frac{3 \cdot pi}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Graph:
[attach]15084[/attach]

Also $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ berechne ich folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} a_{0} = \frac{1}{pi} \cdot \int_\frac{-pi}{2}^\frac{pi}{2} \! u \cdot cos(t) \, dt = \frac{2 \cdot u}{pi} \end{eqnarray*}$

Soweit so richtig =)

Nun möchte ich $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ berechnen.

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{1}{\pi} \cdot \int^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}} f(x) \cdot cos(nx)dx \end{eqnarray*}$
sind die Grenzen richtig gewählt? Im Internet und Bücher sind es immer verschiedene Grenzen (Beispiele)
Außerdem gibt es auch Beispiele in denen die Funktion mit $\begin{eqnarray*} cos(n \cdot \omega t) \end{eqnarray*}$ multipliziert wird.

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{1}{\pi} \cdot \int^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}} u \cdot cos(t) \cdot cos(nt)dt \end{eqnarray*}$

Daraus wird:
$\begin{eqnarray*} \frac{u}{2\pi} \cdot \left[\frac{sin(t(1-n))}{1-n}+\frac{sin(t(1+n))}{1+n}\right]^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$

Laut Lösung im Papula soll ich jetzt mit n=1 auf $\begin{eqnarray*} \frac{u}{2} \end{eqnarray*}$ kommen. Ich kriege allerdings $\begin{eqnarray*} \frac{u}{2\pi} \end{eqnarray*}$ raus. Mit n=3,5,7 kriege ich 0 raus, was richtig ist.

Aber wie ich auf den Rest der Lösung komme, verstehe ich nicht.
Für n=2 kriege ich 2/3 raus. n=4 kriege ich -4/15 raus. Aber das scheint falsch zu sein.

Hier nochmal die Lösung von dem Herren Papula:
[attach]15110[/attach]

09.06.2010, 12:24

Ehos

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Die Stammfunktion ist richtig. Wenn du dort aaber n=1 einsetzt, dann werden Zähler und Nenner Null, was einen unbestimmten Ausdruck ergibt. Versuchs mal mit der L'Hospital-Regel.

09.06.2010, 15:30

gonnabphd

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Zitat:

Versuchs mal mit der L'Hospital-Regel.

Darf man das denn? Bzw. kann man zeigen, dass damit auch das richtige rauskommt? Für stetige Funktionen? Diff'bare? L^1?

09.06.2010, 18:21

DrTurkelten

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RE: Fourierriheentwicklung Integrationsgrenzen
Nach welcher Variabel soll ich ableiten? Ich würd sagen nach t, aber die kommt nur im Zähler vor.

Sorry für die späte Antwort. Hab leider auch andere Fächer außer Analysis =)

10.06.2010, 08:12

Ehos

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Du hast den Term

$\begin{eqnarray*} \frac{u}{2\pi}\left ( \frac {\sin[(1-n)t]}{1-n}+ \frac {\sin[(1+n)t]}{1+n}\right )_{-90°}^{+90°} \end{eqnarray*}$

Der 1.Summand ist für n=1 ein unbestimmter Ausdruck. Um diesen zu beseitigen, leiten wir dort Zähler und Nenner nach n ab (=L'Hosbital-Regel) und erhalten

$\begin{eqnarray*} \frac{u}{2\pi}\left ( \frac {t \cdot \cos[(1-n)t]}{1}+ \frac {\sin[(1+n)t]}{1+n}\right )_{-90°}^{+90°} \end{eqnarray*}$

Das liefert für n=1

$\begin{eqnarray*} \frac{u}{2\pi}\left ( t+ \frac {\sin(2t)}{2}\right )_{-90°}^{+90°}=\frac{u}{2\pi}\left ( \frac{\pi}{2}+ 0\right )-\frac{u}{2\pi}\left ( -\frac{\pi}{2}+ 0\right )=\frac{u}{2} \end{eqnarray*}$

Genau das soll laut deinen Angaben für n=1 herauskommen.

10.06.2010, 08:34

gonnabphd

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Zitat:

Der 1.Summand ist für n=1 ein unbestimmter Ausdruck. Um diesen zu beseitigen, leiten wir dort Zähler und Nenner nach n ab (=L'Hosbital-Regel) und erhalten

Ich finde das sehr unsauber! geschockt

Siehe auch meinen früheren Beitrag.

Zitat:

Versuchs mal mit der L'Hospital-Regel.

Darf man das denn? Bzw. kann man zeigen, dass damit auch das richtige rauskommt? Für stetige Funktionen? Diff'bare? L^1?

10.06.2010, 09:13

Ehos

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@gonnabphd
Der Fragesteller ist offensichtlich ein Ingenieur, denn das von ihm zitierte Buch von Papula heißt "Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler". Als Ingenieur will und kann man nicht alle Winkelzüge und Details der Mathematik nachvollziehen, weil man dann mit seinem praktischen Problem nie fertig wird. Das Ergebnis ist korrekt. Was wollen wir mehr? Du kannst uns ja mal exakt mathematisch begründen, warum das hier funktioniert.

10.06.2010, 09:57

gonnabphd

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@Ehos: Genauso gut könnte man in diesem Fall

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{1}{\pi} \cdot \int^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}} u \cdot cos(t) \cdot cos(nt)dt \overset{(n=1)}{=} \frac{1}{\pi} \cdot \int^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}} u \cdot cos^2(t) dt = \frac{u}{2} \end{eqnarray*}$

separat ausrechnen. Das geht nicht wirklich länger und man bräuchte dafür keine Voodoo-Tricks.

*Edit: Ach egal, ich reg' mich ja eh nur umsonst auf...

10.06.2010, 11:18

Ehos

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@gonnabphd
Stimmt, aber dann musst du ein solches Integral für jeden Koeffizienten ausrechnen. Das wollen wir ja gerade vermeiden, um Zeit zu sparen. Deshalb ist es bequemer, zuerst für beliebige n zu integrieren und erst danach n=1,2,3...einzusetzen - nicht umgekehrt.

10.06.2010, 13:52

DrTurkelten

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Ingenieur
@ehos: Stimmt ich studiere ET & IT. Vielen Dank für den Tipp und die Erklärung!!!
Hab das alles nachvollzogen und mit deiner Rechnung verglichen Freude

@gonnabphd: Es gibt bestimmt auch weitere Wege um auf das Ergebnis zu kommen. Ehos hat allerdings recht damit, dass, natürlich gewisse Grundkenntnisse vorausgesetzt, es für mich wichtiger ist schnell an das gewollte Ergebnis zu kommen.

Hab leider erst heute Abend Zeit mich für die Ergbnisse n=2,4,6 da ran zu setzen. Lesen1

10.06.2010, 21:16

gonnabphd

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@Ehos: Ja, du hast völlig recht, denn ich habe ja die Methode, das Integral für allgemeines n auszurechnen, angegriffen und nicht nur bemängelt, dass l'Hospital für Werte aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ einfach Schwachsinn ist und man deshalb unbestimmte Ausdrücke separat ausrechnen müsste (davon gibt es in der Regel höchstens einen).
Wie gesagt, wenn's auf deinem Weg wirklich schneller gehen würde, könnte man das ja noch als Argument gelten lassen, da dies hier aber nicht der Fall ist, finde ich einen solchen Tipp echt schade.

11.06.2010, 12:40

DrTurkelten

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Super, ich komm auch auf alle anderen Koeffizienten!

13.06.2010, 13:06

DrTurkelten

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kleine Spielerei =)
Hier eine kleine Spielerei mit Matlab:

http://www.bilder-space.de/show_img.php?...f&size=original

Greetz
DrTurkelten

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