Konvergenz einer Reihe

09.06.2010, 11:59

2slow4flo

Konvergenz einer Reihe

Es geht um folgende Aufgabe:
Konvergenz der Reihe:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}} ) \end{eqnarray*}$

Hab mir das mit Abschätzung (Minorante) überlegt:

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}} ) \textgreater (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} ) = \frac{1}{n^{2}+n} \end{eqnarray*}$

Das divergiert aber.

Passt das so, oder muss ich evtl Wurzel/Leibnizkriterium anwenden?

/edit:

Ich überleg mir das mit Teleskopreihe, werde euch dann ein Update geben!

Danke!

09.06.2010, 12:03

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Sagt dir der Begriff Teleskopreihe etwas? Falls nicht, dann recherchiere mal.

09.06.2010, 15:00

2slow4flo

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Naja dann gehts wohl so weiter:
Partielsumme:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^k (\frac{1}{\sqrt{n}} -\frac{1}{\sqrt{n+1}})=1+\frac{1}{\sqrt{k+1}} \end{eqnarray*}$

Und dann:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{1}{\sqrt{n}} -\frac{1}{\sqrt{n+1}})=\lim_{k \to \infty} \sum\limits_{n=1}^k (\frac{1}{\sqrt{n}} -\frac{1}{\sqrt{n+1}})=\lim_{k \to \infty}(1+\frac{1}{\sqrt{k+1}})=1 \end{eqnarray*}$

09.06.2010, 15:09

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Zitat:

Original von 2slow4flo
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^k (\frac{1}{\sqrt{n}} -\frac{1}{\sqrt{n+1}})=1+\frac{1}{\sqrt{k+1}} \end{eqnarray*}$

Vorzeichenfehler:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^k (\frac{1}{\sqrt{n}} -\frac{1}{\sqrt{n+1}})=1-\frac{1}{\sqrt{k+1}} \end{eqnarray*}$

Aber ansonsten ja, das ist die dahinter steckende Idee.

09.06.2010, 15:10

2slow4flo

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Was heißt Idee, ist das jetzt kein vollständiger Beweis :o ?

09.06.2010, 15:12

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Ach du meine Güte, immer diese Leute mit der Wörter-Goldwaage...

Mit "Idee" meine ich "Idee hinter der Teleskopreihe". Und ja, es ist ausreichend als Beweis.

09.06.2010, 15:16

2slow4flo

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Sorry als Laie bin ich mir da halt nicht so sicher, vielen Dank!

09.06.2010, 15:16

Airblader

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Sollte die Teleskopreihe noch nicht bekannt sein würde ich diesen Begriff und die (ja sehr triviale) Funktionsweise aber schon mit reinbringen.

air

09.06.2010, 16:31

2slow4flo

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Ne ist bekannt, nur haben wir das umgekehrt eingeführt. Sprich man hat die Folge c_n gegeben und daraus die Reihe entwickelt. Daher hatte ich damit so meine Probleme.

09.06.2010, 19:36

2slow4flo

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So habe eine neue Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty (-1^{k})*\frac{k}{k^{2}+1} \end{eqnarray*}$

Normale konvergenz, ist klar nach Leibnizkriterium, da $\begin{eqnarray*} \frac{k}{k^{2}+1} \end{eqnarray*}$ monoton fallend ist.

Wie sieht es dort mit der absoluten Konvergenz aus?

Mit Quotientenkriterium kriege ich $\begin{eqnarray*} q:=\frac{k^{3}+k^{2}+k+1}{k^{3}+2*k^{2}+1} \end{eqnarray*}$
(Nenner ist größer als Zähler, damit ist der Bruch kleiner eins)
Setze jetzt $\begin{eqnarray*} N\geq k \end{eqnarray*}$ und damit
$\begin{eqnarray*} q:=\frac{N^{3}+N^{2}+N+1}{N^{3}+2*N^{2}+1} \end{eqnarray*}$

Demnach gilt $\begin{eqnarray*} \frac{k+1}{(k+1)^{2}+1} \leq q* \frac{k}{k^{2}+1} \end{eqnarray*}$ .

Betragsstriche und das $\begin{eqnarray*} (-1)^k \end{eqnarray*}$ wurden weggelassen
Oder habe ich irgendwie einen Fehler bei der Anwendung gemacht?

10.06.2010, 09:18

klarsoweit

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Zitat:

Original von 2slow4flo
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty (-1^{k})*\frac{k}{k^{2}+1} \end{eqnarray*}$

Vermutlich meinst du $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \cdot \frac{k}{k^{2}+1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von 2slow4flo
Mit Quotientenkriterium kriege ich $\begin{eqnarray*} q:=\frac{k^{3}+k^{2}+k+1}{k^{3}+2*k^{2}+1} \end{eqnarray*}$

Wie kommst du darauf? verwirrt

Du solltest dir das Quotientenkriterium nochmal ganz genau anschauen.

10.06.2010, 10:01

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Vielleicht sollte jeder die Erfahrung selbst machen, aber ich sage es hier trotzdem mal: Bei Reihen der Struktur

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} f(k) \end{eqnarray*}$

mit einer (gebrochen) rationalen Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bringt weder Quotienten- noch Wurzelkriterium irgendwas: Diese Kriterien landen da immer beim Wert 1, also Nichtentscheidbarkeit - das kann man sehr einfach zeigen.

Immer zum Erfolg bei dieser Art Reihen führen hingegen Majoranten- bzw. Minorantenkriterium, mit den Vergleichsreihen $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} k^{\alpha} \end{eqnarray*}$ , welche für $\begin{eqnarray*} \alpha < -1 \end{eqnarray*}$ konvergent, und für $\begin{eqnarray*} \alpha \geq -1 \end{eqnarray*}$ divergent sind.

10.06.2010, 10:03

Kühlkiste

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Zitat:

Original von klarsoweit
Wie kommst du darauf? verwirrt

Du solltest dir das Quotientenkriterium nochmal ganz genau anschauen.

Das solltest Du tatsächlich tun - auch wenn die Sache hier sich m. E. etwas kürzer und auch einfacher erledigen liesse.

Betrachte dazu die Abschätzung:

$\begin{eqnarray*} \frac n{n^2+1}\geq\frac 1{2n} \ \mbox{für alle} \ n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$

10.06.2010, 11:03

Mystic

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Wer gerne "ausgetretene Pfade" vermeidet, mag auch das divergente uneigentliche Integral

$\begin{eqnarray*} \int_1^\infty \frac x{x^2+1} \, dx \end{eqnarray*}$

in Betracht ziehen, für welches ja die Reihe der Absolutglieder offensichtlich eine Obersumme darstellt...

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