Umkehrfunktion ?

09.06.2010, 12:51	Kerstin*	Auf diesen Beitrag antworten »
Umkehrfunktion ? Hallo, $\begin{eqnarray} A^\mathbb N \end{eqnarray}$ sei der abzählbare Produktraum über $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (A^\mathbb N, R, \mu) \end{eqnarray}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. Für $\begin{eqnarray} A=\left \{ -1,1 \right \} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p(1):=\nu \in [0,1] \end{eqnarray}$ ist die Funktion $\begin{eqnarray} \phi: A^\mathbb N\to \mathbb R \end{eqnarray}$ gegeben durch $\begin{eqnarray} \phi((a_i)):=\sum _{i=1}^\infty a_i 2^{-i} \end{eqnarray}$ Ich soll nun $\begin{eqnarray} \phi_(\mu)\left ( \left ( \frac{1}{16},\frac{3}{16} \right ) \right ) \end{eqnarray}$ bestimmen. Wenn ich die Definition von $\begin{eqnarray} \phi_* \end{eqnarray}$ verwende, dann erhalte ich $\begin{eqnarray} \phi_(\mu)\left ( \left ( \frac{1}{16},\frac{3}{16} \right ) \right )=\mu\left ( \phi^{-1}\left ( \left ( \frac{1}{16},\frac{3}{16} \right ) \right ) \right ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \phi^{-1} \end{eqnarray}$ bildet ab von $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} A^{\mathbb N} \end{eqnarray}$ . Jetzt ist nur die Frage, wie sieht $\begin{eqnarray} \phi^{-1} \end{eqnarray}$ konkret aus, d.h. wie bestimmt man $\begin{eqnarray} \phi^{-1} \end{eqnarray}$ und wie berechnet man dann das Maß davon? Danke für eure Ratschläge im Voraus! Gruß, Kerstin
10.06.2010, 20:14	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Angaben verwenden anscheinend Konventionen aus der Vorlesung, die nicht allgemein bekannt sind. Und solange du diese Konventionen nicht erläuterst, kann man das nicht verstehen. Was soll zum Beispiel $\begin{eqnarray} p(1):=\nu \in [0,1] \end{eqnarray}$ bedeuten? Und wo ist der Zusammenhang zum Übrigen? Ich vermute, daß $\begin{eqnarray} U = \left( \frac{1}{16} , \frac{3}{16} \right) \end{eqnarray}$ ein offenes reelles Intervall bezeichnen soll. Dann ist mit $\begin{eqnarray} \varphi^{-1}(U) \end{eqnarray}$ das Urbild dieses Intervalls unter der Abbildung $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ gemeint. Was tut $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ eigentlich? Vielleicht sieht man das am besten, wenn man die Folge $\begin{eqnarray} a = \left( a_1,a_2,a_3,\ldots \right) \end{eqnarray}$ aus Einsen und Minus-Einsen einer bijektiven Transformation $\begin{eqnarray} \tau \end{eqnarray}$ unterwirft: $\begin{eqnarray} b = \tau(a) \end{eqnarray}$ , und zwar so, daß $\begin{eqnarray} b = \left( b_1,b_2,b_3,\ldots \right) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_i = 2b_i - 1 \ \ \mbox{für alle} \ \ i \end{eqnarray}$ gilt. Aus jedem $\begin{eqnarray} a_i = 1 \end{eqnarray}$ wird also $\begin{eqnarray} b_i = 1 \end{eqnarray}$ und aus jedem $\begin{eqnarray} a_i = -1 \end{eqnarray}$ wird $\begin{eqnarray} b_i = 0 \end{eqnarray}$ . Damit stellt $\begin{eqnarray} \psi(b) = \sum b_i 2^{-i} \ \ \mbox{mit} \ \ b_i \in \{ 0,1 \} \end{eqnarray}$ eine reelle Zahl des Intervalls $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ dar (alle Summen hier und im Folgenden laufen von $\begin{eqnarray} i=1 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} i=\infty \end{eqnarray}$ ). Man kann damit $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ als Dualbruch einer reellen Zahl ansehen. Nun gilt, wenn $\begin{eqnarray} b = \tau(a) \end{eqnarray}$ ist, der folgende Zusammenhang: $\begin{eqnarray} \varphi(a) = \sum a_i 2^{-i} = \sum \left( 2b_i - 1 \right) 2^{-i} = 2 \sum b_i 2^{-i} - \sum 2^{-i} = 2 \psi(b) - 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varphi^{-1}(U) \end{eqnarray}$ besteht aus allen Folgen $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ , die durch $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ abgebildet werden. Man formt äquivalent um (wobei natürlich wieder $\begin{eqnarray} b = \tau(a) \end{eqnarray}$ sein soll): $\begin{eqnarray} \frac{1}{16} < \varphi(a) < \frac{3}{16} \ \ \Leftrightarrow \ \ \frac{1}{16} < 2 \psi(b) - 1 < \frac{3}{16} \ \ \Leftrightarrow \ \ \frac{17}{32} < \psi(b) < \frac{19}{32} \end{eqnarray}$ Wegen $\begin{eqnarray} \frac{17}{32} = 1 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{1}{4} + 0 \cdot \frac{1}{8} + 0 \cdot \frac{1}{16} + 1 \cdot \frac{1}{32} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{19}{32} = 1 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{1}{4} + 0 \cdot \frac{1}{8} + 1 \cdot \frac{1}{16} + 1 \cdot \frac{1}{32} \end{eqnarray}$ muß der Dualbruch $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ von folgender Gestalt sein: $\begin{eqnarray} b = \left( 1,0,0,0,1,,,, \ldots \right) \ \ \mbox{oder} \ \ b = \left( 1,0,0,1,0,,,, \ldots \right) \end{eqnarray}$ wobei das Folgenende $\begin{eqnarray} ,,,\ldots \end{eqnarray}$ beliebig aus Nullen und Einsen bestehen darf, im ersten Fall allerdings nicht aus lauter Nullen und im zweiten Fall nicht aus lauter Einsen (beachte oben bei den äquivalenten Umformungen die Kleinerzeichen). Also muß $\begin{eqnarray} a = \tau^{-1}(b) \end{eqnarray}$ die Gestalt $\begin{eqnarray} a = \left( 1,-1,-1,-1,1,,,, \ldots \right) \ \ \mbox{oder} \ \ a = \left( 1,-1,-1,1,-1,,,, \ldots \right) \end{eqnarray}$ haben, wobei das Folgenende $\begin{eqnarray} ,,,\ldots \end{eqnarray}$ beliebig aus Einsen und Minus-Einsen bestehen darf, im ersten Fall allerdings nicht aus lauter Minus-Einsen und im zweiten Fall nicht aus lauter Einsen. Alle so beschriebenen Folgen $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ bilden das Urbild von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ . Wie man nun hiervon das Maß bestimmt, kann ich dir allerdings nicht sagen, weil du die konkrete Bedeutung von $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ nirgendwo angegeben hast. Aber vielleicht gibt es ja andere (A.D.?), die von Maßtheorie mehr verstehen und den Kontext deiner Symbolik kennen oder erahnen. Irgendwie scheint es darum zu gehen, das Maß $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ mittels $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ zu einem Maß $\begin{eqnarray} \varphi_{}(\mu) \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} [-1,1] \end{eqnarray*}$ zu machen.
11.06.2010, 15:16	Kerstin*	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die super Erklärung! Wir haben in der Vorlesung den Prämaßraum $\begin{eqnarray} (A^\mathbb N, R, \mu) \end{eqnarray}$ eingeführt. Das ist der sog. "Shift-Maßraum". Das Prämaß $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ soll einfach nur folgende Bedingung erfüllen, dass für eine Menge $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \mu(S)=\sum_{s\in S}p(s) \end{eqnarray}$ . Wenn ich das benutze, dann müsste ich das Maß von unendlich vielen Folgen $\begin{eqnarray} (a_n)_{n\in \mathbb N} \text{ mit } \ a_n \in A=\{-1,1\}\quad \forall\ n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ bestimmen, d.h. genauer: Ich müsste $\begin{eqnarray} \sum_{(a_n) \in A^\mathbb N}p(a_i),\quad \text{ mit }p(1)=\nu ,\ p(-1)=1-\nu \end{eqnarray}$ ermitteln, wobei über alle Folgen summiert wird, die $\begin{eqnarray} \phi((a_n))\in \left ( \frac{1}{16},\frac{3}{16} \right ) \end{eqnarray}$ erfüllen. Und das sind eben unendlich viele, weil die Folgenglieder, die du mit $\begin{eqnarray} \end{eqnarray}$ bezeichnet hast beliebig $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray*}$ sein dürfen... Und all diese Folgen müssen ja in dieser Summe berücksichtigt werden... Ich weiß leider nicht, wie man das Maß all dieser Folgen berechnen kann. Ciao, Kerstin
11.06.2010, 15:38	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier verstehe ich etwas nicht. Einerseits ist $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ erklärt: $\begin{eqnarray} p(1) = \nu, \, p(-1) = 1 - \nu \end{eqnarray}$ Andererseits wirkt $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mu(S) = \sum_{s \in S} p(s) \end{eqnarray}$ auf einer Folge $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ . Entweder stimmt da etwas nicht, oder $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ wird auf eine bestimmte Art und Weise auf Folgen fortgesetzt und als Bezeichner beibehalten. Dann solltest du erklären, wie das gemacht wird.

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