Interpolation sin(x)

09.06.2010, 14:55

Tremonia

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Interpolation sin(x)

Hallo,
Ich habe eine Frage zu einer Aufgabe(mir ist die Aufgabenstellung nicht ganz klar)
Aufgabe:
Für $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ bezeichne $\begin{eqnarray*} p_{n} (x) \end{eqnarray*}$ das n-te Taylorpolynom der Funktion $\begin{eqnarray*} \sin(x) \end{eqnarray*}$ bezüglich des Entwicklungspunktes
$\begin{eqnarray*} x_{0} =0 \end{eqnarray*}$ . Bestimmen Sie eine möglichst kleine zahl n, so dass $\begin{eqnarray*} p_{n} (x) \end{eqnarray*}$ im Bereich von 0 bis $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$ die sinusfunktion mit einer maximalen Abweichung von $\begin{eqnarray*} 10^{-14} \end{eqnarray*}$ interpoliert.

jetzt meine Frage:
ich kann sin(x)mit taylorreihe ja auch darstellen als

$\begin{eqnarray*} \sin(x) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} x-\frac{1}{3!}x^{3} +\frac{1}{5!}x^{5} -\frac{1}{7!}x^{7}\pm .... \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^\infty \frac{(-1)^{j} }{(2j+1)!}x^{(2j+1)} \end{eqnarray*}$

soll ich jetzt einfach einen Wert im Intervall annehmen z.B. $\begin{eqnarray*} \sin\frac{\pi }{4}= \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$
und gucken ab welchem Summanden der Taylorreihe der Wert die gewünschte Abweichung hat?

Vielen Dank im Voraus!

09.06.2010, 18:23

system-agent

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Nein, der Fehler soll höchstens $\begin{eqnarray*} 10^{-14} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right] \end{eqnarray*}$ betragen !

Hinweis: Restglied! Schätze ebendieses ab.

09.06.2010, 18:34

Tremonia

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@system-agent

Zitat:

Hinweis: Restglied! Schätze ebendieses ab.

meinst du das ich die Reihe nach einem bestimmten Glied einfach abbrechen soll?
woher weiß ich welches es ist?

09.06.2010, 18:46

lgrizu

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welches es ist, das sollst du ja bestimmen....
welche restglieddarstellungen kennst du denn ?
integraldarstellung, Lagrange, cauchy (es gibt noch eine, hab ich vergessen...)?
ich würde die von lagrange nehmen. du kannst benutzen, dass f^n(x) immer werte zwischen 0 und 1 annimmt

09.06.2010, 19:07

Tremonia

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die Restglieddarstellung von lagrang ist mir bekannt

09.06.2010, 19:29

lgrizu

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nun gut, dann hast du das restglied:
$\begin{eqnarray*} \frac{f^{n+1}( \epsilon ) }{(n+1)!}*x \end{eqnarray*}$ und dieses restglied soll nun kleiner sein als $\begin{eqnarray*} 10^{-14} \end{eqnarray*}$

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09.06.2010, 20:15

Tremonia

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Zitat:

nun gut, dann hast du das restglied: $\begin{eqnarray*} \frac{f^{n+1}( \epsilon ) }{(n+1)!}*x \end{eqnarray*}$ und dieses restglied soll nun kleiner sein als $\begin{eqnarray*} 10^{-14} \end{eqnarray*}$

Müsste das restglied nicht heißen:
$\begin{eqnarray*} \frac{f^{n+1}( \epsilon ) }{(n+1)!}*x^{n+1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ? \end{eqnarray*}$

09.06.2010, 20:27

lgrizu

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..ist natürlich richtig, hab den exponenten vergessen....

09.06.2010, 20:45

Tremonia

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wie komme ich denn jetzt auf das gesuchte n?
für das $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ kann ich doch einen wert aus dem intervall einsetzen oder?

09.06.2010, 20:46

lgrizu

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du solltest die funktion schon abschätzen, welchen wert nimmt jede ableitung von sin(x) im gegebenen intervall höchstens an?

09.06.2010, 20:48

Tremonia

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Zitat:

du solltest die funktion schon abschätzen, welchen wert nimmt jede ableitung von sin(x) im gegebenen intervall höchstens an?

höchstens 1 oder?

09.06.2010, 20:53

lgrizu

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Zitat:

Original von Tremonia

Zitat:

du solltest die funktion schon abschätzen, welchen wert nimmt jede ableitung von sin(x) im gegebenen intervall höchstens an?

höchstens 1 oder?

Freude

09.06.2010, 21:04

Tremonia

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also kann ich für $\begin{eqnarray*} f^{n+1}\left(\epsilon\right) \end{eqnarray*}$ 1 schreiben richtig?

09.06.2010, 21:06

lgrizu

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du kannst sogar schreiben $\begin{eqnarray*} f^{n+1} \leq 1 \end{eqnarray*}$ ...

09.06.2010, 21:10

Tremonia

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welchen Wert muss ich denn für x nehmen um das vernümftig abschätzen zu können?

09.06.2010, 21:16

lgrizu

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ich würde den x-wert nehmen, an dem das restglied maximal wird......

09.06.2010, 21:22

Tremonia

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Zitat:

ich würde den x-wert nehmen, an dem das restglied maximal wird......

also $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ?

09.06.2010, 21:24

lgrizu

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unendlich liegt nicht in deinem def bereich, also nen bisschen nachdenken, wenn die funktion keine lokalen extrema hat, dann sind die grenzen des def bereichs zu untersuchen......

09.06.2010, 21:37

Tremonia

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also ich hab jetzt für die Abschätzung n =19 raus

09.06.2010, 21:44

lgrizu

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hab ich auch, gerade auch noch mal überprüft, bei n=18 ist die abschätzung für das restglied noch 4,4*10^-14....

09.06.2010, 21:46

Tremonia

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ok Igrizu vielen Dank für deine Hilfe und Geduld

09.06.2010, 21:50

lgrizu

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jederzeit wieder...

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