Größter Häufungspunkt, Limsup

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JD Auf diesen Beitrag antworten »
Größter Häufungspunkt, Limsup
Meine Frage:
Zeigen sie das:
<=> a ist größter Häufungspunkt der Folge.

Die Folge ist übrigens auch beschränkt.


Meine Ideen:
Also ich habe mir gedacht das die Folge ja nach Bolzano Weierstrass mind. einen Häufungspunkt hat.Wenn ich jetzt ne Defintion hätte, das limsup die kleinste obere schranke ist bzw das irgendwie zeigen kann, könnte ich doch sagen, dass a der größte häufungspukt wäre oder?

kennt ihr so eine Def. ich kann sie nicht finden!?
JD Auf diesen Beitrag antworten »

Hey leute hat denn ekiner von euch eine Idee???
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Immer schön langsam, du wirfst da einiges durcheinander. Obere Schranke, limes superior und Häufungspunkte sind grundverschiedene Dinge! Insbesondere die obere (untere) Schranke hat i.A. nichts mit dem Limes superior zu tun. Betrachte dazu z.B. mal



Korrekt ist jedenfalls, dass jede beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge besitzt. Wie habt ihr denn den Limes Superior definiert?

Und: Angenommen, es würde einen größeren Häufungspunkt als den limsup geben. Was wäre denn dann der Fall?
JD Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist das Supremum die obere Schranke richtig?
und limsup gibt den wert der kleinsten an oder?sonst verstejh ich das nicht so ganz.

die def. von dem Lim sup ist:



Wenn ich einen größten Häufungspunkt hätte, wäre es doch so das meine Aussage bewiesen wäre oder?
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, limsup gibt nicht den Wert der kleinsten oberen Schranke an (das ist gerade das Supremum!). Wahrscheinlich solltest du dir erstmal begreiflich machen, was der limes superior überhaupt ist, bevor du irgendwelche Äquivalenzen zeigst.

Also nochmal das Beispiel von oben:



Was ist dann limsup und was ist ?
JD Auf diesen Beitrag antworten »

wäre der limsup nicht 0?
 
 
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich hoffe mal, dass zeigt dir hinreichend, dass der Limes Superior überhaupt nichts mit oberen Schranken zu tun hat.

Also zur ersten Beweisrichtung ():

Sei Zu zeigen:
a) a ist Häufungspunkt
b) a ist größter Häufungspunkt.

Also, wie würdest du a) begründen? (Verwende dazu insbesondere die Definition des Häufungspunktes!)
JD Auf diesen Beitrag antworten »

öh ja ich hätte jetzt gesagt das die Folge beschränkt ist und somit einen Häufungspunkt haben muss..reicht das nicht?
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Woher weißt du denn aber, dass der limsup ein Häufungspunkt ist? Es geht ja nicht darum zu zeigen, dass ein Häufungspunkt existiert, sondern dass der limes superior ein Häufungspunkt ist.
JD Auf diesen Beitrag antworten »

ahh ok...
also die definition ist:
a aus R heißt Häufungspunkt der Folge , falls sie eine Teilfolge besitzt, die gegen a konvergiert.

doch ich weiß grad nicht was mir das bringen soll!?
Sorry ich glaub du musst echt genervt von mir seinAugenzwinkern
aber ich versteht das irgendwie nciht so ganz mir dem supremum und so
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Was verstehst du denn beim Supremum nicht? Supremum ist einfach die kleinste obere Schranke einer Menge.

Und es soll dir das bringen: Du musst zeigen, dass eine Teilfolge existiert, die gegen a konvergiert - und das natürlich aus der Definition des Limes Superior. Wenn du die Definition verstanden hast, ist das auch wirklich nicht schwer.
JD Auf diesen Beitrag antworten »

hm nur leider muss ich sagen das ich sie noch nciht so wirklich verstanden habe..kannst du sie mir viellecht verständlicher erklären?
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, letztendlich musst du es schon selbst verstehen. Aber du kannst ja einfach mal die Definition von innen nach außen lesen und es dir z.B. auch bidlich an einer Folge vorstellen:

1. Es werden mit betrachtet. Welche Folgenglieder sind das?
2. Es wird das Supremum über die Folgenglieder aus 1. gebildet.
3. Es wird betrachtet, was passiert wenn man n gegen unendlich wandern lässt.

Wenn du damit noch nicht klar kommst, wird es wohl am besten sein, wenn du erstmal ein paar Beispiele zum limsup durchrechnest (und auch verstehst, wieso das jeweilige Ergebnis rauskommt), bevor du dich an die eigentliche Aufgabe machst.
JD Auf diesen Beitrag antworten »

ok dann versuch ich das mal..hoffe ich bekomm es hin..vielen dank erstmal..
nur noch eine Fragesmile
kannst du mir helfen wie ich dieses heir beweise:

-limsup a_n =liminf (-a_n)
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, das beruht eigentlich darauf, dass



Oder in Worten ausgedrückt, was da steht: Das negative vom größten Häufungswert der Folge ist der kleinste Häufungswert von der mit (-1) multiplizierten Folge.
Gruetzi Auf diesen Beitrag antworten »
Analysis lim sup und lim inf
Hallo,
Ich sitze an der selben Aufgabe und verstehe die unterschiedlichen Begriffe aber sehe den Widerspruch nicht, welcher entstehen soll, wenn es einen groesseren Haeufungspunkt gibt als den lim sup a.
Koennte mir da vielleicht einer helfen und waere die Loesung fuer den lim inf dann analog?
Vielen Dank im Voraus.
Gruetzi Auf diesen Beitrag antworten »
Analysis lim sup und lim inf
ist diese Seite ueberhaupt noch aktiv?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wir sind enorm aktiv, 24 Stunden am Tag, 7 Tage die Woche. Augenzwinkern Wie kannst du an der selben Aufgabe sitzen, wenn diese Aufgabe völlig falsch formuliert ist ?

Für eine Folge ist der größte Häufungswert. Gäbe es einen größeren Häufungswert , dann wäre nicht der größte. "a ist der größte" und "a ist nicht der größte" ist ein deutlicher Widerspruch.
Gruetzi Auf diesen Beitrag antworten »
Analysis lim sup und lim inf
Wir haben den lim sup noch nicht als groessten Haeufungspunkt definiert, weshalb wir das beweisen sollen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ist er definiert ?
Gruetzi Auf diesen Beitrag antworten »
Analysis lim sup und lim inf
Bisher nur als Haeufungspunkt und wie man ihn berechnet. Jetzt sollen wir zeigen, dass es auch der groesste ist.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das verstehe ich nicht. Der limsup kann nicht als beliebiger Häufungspunkt definiert sein. Die Folge 1,-1,1,-1,... hat die beiden Häufungswerte 1 und -1, dabei ist 1>-1, also 1 der größte Häufungswert, also 1=limsup und -1=liminf.
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