Stetigkeit nachweisen - Seite 2 |
| 10.06.2010, 21:22 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zugegebenermaßen bin ich etwas irritiert ... die Aufgabe ist ja schon deutlich anspruchsvoller als die anderen Teile der Aufgabe. Wenn man sowas wie die Dirichlet-Funktion kennt kann man hier natürlich stark abkürzen, aber dann hättest du diese beiden Folgen auch gekannt. 
air |
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| 10.06.2010, 21:30 | m0pf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hehe, hab ich mir auch gedacht, als du mit konstruieren von Folgen angefangen hast
Wie siehts denn bei Nummer 2 vom Blatt aus? Die scheint ja auf den ersten Blick schneller zu gehen. Kann ich bei f(x)=max(x,0) gesondert die Fälle |x|<=0 und |x|>0 betrachten? Für den ersten Fall wäre das ja eine konstante Funktion, die ja bekanntlich immer stetig sind. Der zweite Fall würde ja dann eine lineare Funktion, die erste Winkelhalbierende, liefern, also ist f(x) auch in diesem Teil stetig, also in D stetig. |
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| 10.06.2010, 21:34 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Denk mal gut darüber nach, ob der Fall |x| <= 0 so viel Sinn macht. An die Aufgabe dachte ich ursprünglich übrigens. Betrachte also x < 0, x = 0 und x > 0. Zwei Fälle sind trivial, der eine braucht dann etwas Argumentation. air |
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| 10.06.2010, 21:39 | m0pf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Prinzipiell müssten x<0 und x>0 trivial sein, da es sich dann ja um eine konstante bzw. lineare Verhaltensweise der Funktion handelt (falls man so argumentieren darf). Für x=0 wäre dann f(0)=0 sowie links und rechtsseitiger Grenzwert= 0 also auch stetig in 0. Also ist die Funktion in D=R stetig. |
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| 10.06.2010, 21:48 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Etwas genauer darf man werden. Es ist schlicht und ergreifend z.B. für x < 0: und da x echt kleiner als Null ist gilt dies auch in einer Umgebung von jedem x, also ist auch der Grenzwert Null und f damit stetig. Für x > 0 ist und mit dem selben Argument auch hier stetig. Für x=0 ist deine Argumentation richtig. air |
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| 10.06.2010, 21:51 | m0pf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok. Bei g(x) in Aufgabe 2 reicht es doch die Stelle 0 zu betrachten oder? für x< 0 wäre der Grenzwert ja -1 und für x>0 wäre er 1. Also ist die Funktion nicht stetig in 0, also nicht stetig in D. |
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| 10.06.2010, 21:57 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Korrekt. Wobei "Untersuche auf Stetigkeit im Definitionsbereich" meist so gemeint ist, dass man angibt, wo sie stetig ist und wo nicht ... und nicht einfach sagt, dass sie nicht stetig auf D ist, wenn sie irgendwo unstetig ist (auch wenn die Aussage an sich natürlich korrekt ist). air |
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| 10.06.2010, 22:00 | m0pf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alles klar. Wie kann man denn hier die Stetigkeit in den beiden Abschnitten überprüfen? |
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| 10.06.2010, 22:06 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast doch bereits die Stetigkeit überprüft? Mir ging es nur darum, dass du als Ergebnis nicht "Die Funktion ist nicht stetig" hinschreiben solltest, sondern "Die Funktion ist stetig für alle x außer 0". air |
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| 10.06.2010, 22:11 | m0pf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hatte es so verstanden, dass ich die Stetigkeit des restlichen Definitionsbereiches noch zeigen sollte. Aber das muss ich ja spätestens bei f*g machen oder? Wenn ich dann gezeigt habe, dass beide Vorschriften von g(x) stetig sind, muss ich ja nur noch die Stelle 0 betrachten, die ja auch stetig, mit Grenzwert 0, wäre. Also wäre f*g stetig in D |
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| 10.06.2010, 22:15 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Für x ungleich Null ist g(x) die Verkettung stetiger Funktionen und damit stetig. Für die h(x) mach dir zunutze, was du bereits weißt: f(x) ist auf ganz IR stetig g(x) ist stetig auf IR \ {0}. Damit hast du für IR \ {0} ein Produkt stetiger Funktionen und das ist stetig. Bleibt also noch x=0 zu überprüfen. Es ist h(0) = 0 und sowohl links- als auch rechtsseitiger Grenzwert sind auch Null (wegen f(x) und weil g(x) in einer Umgebung von Null beschränkt ist), also ist h(x) überall stetig. air |
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