Stetigkeit nachweisen

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m0pf Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit nachweisen
N'Abend.
Aus bequemlichkeit verlinke ich mein Arbeitsblatt einfach mal...
Blatt

Mein Problem dreht sich um Aufgabe 3b)
Ich hab irgendwie absolut keine Idee, wie ich da dran gehn soll...
Ein Tipp wäre wirklich 'ne feine Sache smile
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Fangen wir doch mit der ersten Funktion an.
Wie ist Stetigkeit definiert?

Tipp: Betrachte die drei Fälle x < 0, x = 0 und x > 0.

air
 
 
m0pf Auf diesen Beitrag antworten »

Also Stetigkeit ist ja wie folgt definiert:



Muss ich dann jetzt die Fälle





betrachten?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, das ist die --Definition.
Es gibt aber auch eine äquivalente Eigenschaft mit Grenzwerten, die hier praktikabler wäre. Kennst du sie?

air
m0pf Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn gilt:




so ist



Das heißt existieren links- und rechtsseitiger Grenzwert an der Stelle a und sind gleich, so hat die Funktin f(x) an der Stelle a den Grenzwert c.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Das mag sein, hat mit Stetigkeit aber so noch nichts zu tun verwirrt

Eine Funktion ist stetig im Punkt genau dann, wenn ist.

Diese Definition brauchst du nur für den Fall x=0, darum betrachten wir ihn nun. Um x < 0 bzw. x > 0 kümmern wir uns danach (die sind noch einfacher).

Was ist also f(0) und was ist ?
Ganz unbrauchbar war deine Antwort aber nicht, denn für den Grenzwert musst du links- und rechtsseitig getrennt betrachten. Augenzwinkern

air
m0pf Auf diesen Beitrag antworten »

sofern mich meine Kopfrechenfähigkeiten nicht betrügen ^^

So aber für den Grenzwert pack ich mal den Taschenrechner aus Augenzwinkern



Also wäre die Funktion in a=0 nicht stetig.

Bei f(0) bin ich mir aber irgendwie nicht sicher, obwohl das ja prinzipiell das einfachste der Welt is 0 einzusetzen Big Laugh
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Ach herrjemine. Das tut mir furchtbar leid, ich war bei der völlig falschen Aufgabe! geschockt
Vergiss das mit den drei Fällen also schnell wieder.

Die erste Funktion ist trivialerweise stetig, wenn man weiß, dass Summen, Quotienten etc. stetiger Funktionen wieder stetig sind. Interessant wird es also erst bei der zweiten Funktion.

Du musst nun also prüfen, ob gilt. Augenzwinkern

Edit: Und für Grenzwerte packen wir niemals, wirklich niemals den Taschenrechner aus. Mit einem Taschenrechner bestimmst du keinen Grenzwert, sondern du kannst einen plausiblen Kandidaten bestimmen Augenzwinkern

air
m0pf Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Problem Augenzwinkern

Noch ne frage zu f_1:
Muss ich die Stelle 1 nicht gesondert betrachten, da ich ja sonst durch "0" teilen würde?
Bei f_2 x geht der Qutient in beiden Fällen gegen 0, wie man ja leicht sieht.
(/edit: Wäre ja jeweils 0/1 oder?)
Muss das noch irgendwie Formal gezeigt werden? Wüsste jetzt nämlich nicht wie ich das anstellen soll, da wir das x ja gegen keine genaue Zahl gehen lassen, sondern uns dieser Zahl ja von links bzw. rechts annähern...
BErnhArd_P Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Airblader
Die erste Funktion ist trivialerweise stetig, wenn man weiß, dass Summen, Quotienten etc. stetiger Funktionen wieder stetig sind.


Das stimmt nicht so ganz. Man kann sagen, dass Airblaiders Argument für alle x gilt, für die der Nenner ungleich Null ist. Aber dort, wo der Nenner Null wird, also bei 1 muss es explizit überprüft werden.

Daher:
Du weißt es ist überall bis auf x=1 stetig. Und für x=1 musst du nun die Grenzwerte anschauen (ohne Taschenrechner Augenzwinkern ).

Edit: Du bist noch vor meinem Posting draufgekommen Augenzwinkern

MfG
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von m0pf
Noch ne frage zu f_1:
Muss ich die Stelle 1 nicht gesondert betrachten, da ich ja sonst durch "0" teilen würde?


Durch Null teilen kann man nicht, das scheinst du zu bemerken. An dieser Stelle ist die Funktion also gar nicht erst definiert. Stetigkeit ist eine Eigenschaft von Punkten des Definitionsbereichs.
Standard-Beispiel, das gerne für Verwirrung sorgt: ist auf dem gesamten Definitionsbereich stetig. Natürlich ist sie bei nicht stetig (aber auch nicht nicht stetig), da dieser Punkt gar nicht zum Definitionsbereich gehört und man daher dort nicht nach Stetigkeit fragen kann.

Zitat:
Bei f_2 x geht der Qutient in beiden Fällen gegen 0, wie man ja leicht sieht.


Ja, etwas begründen sollte man das. Argumentiere schrittweise: Wenn x gegen Null geht, dann geht 1/|x| gegen ... und exp(1/|x|) geht gegen .... etc.

Zitat:
da wir das x ja gegen keine genaue Zahl gehen lassen, sondern uns dieser Zahl ja von links bzw. rechts annähern...


x geht doch gegen Null. Inwiefern ist die Null für dich keine genaue Zahl verwirrt

air
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

@ Bernhard

Nein, das stimmt so nicht, siehe mein Posting.
Hier ist nicht gefragt ob die Funktion stetig ergänzbar ist, sondern ob sie stetig ist. Das ist etwas Grundverschiedenes.

air
m0pf Auf diesen Beitrag antworten »

Zu dem Problem mit der "Definitionslücke":
Jap, Aufgabenstellung sollte man lesen, da steht ausdrücklich in jedem Punkt des Definitionsbereiches zu dem die 1 ja in f_1 definitiv nicht gehört...

zu f_2:
Würde es genügen zu sagen, dass


und somit der Ausdruck insgeamt gegen 0 geht? (analog für lim 0-)
Würde es nicht schon reichen zu sagen, dass der Zähler gegen 0 geht?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Dass der Zähler gegen Null geht ist allein nicht genügend. Betrachte mal x/x für x gegen Null. Da geht der Zähler auch gegen Null, der Quotient ist dennoch konstant 1 (und damit auch der Grenzwert). Augenzwinkern

Deine Argumentation stimmt. Dass der Zähler gegen Null geht würde ich zusätzlich noch erwähnen. Augenzwinkern

air
m0pf Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das is schonmal gut smile

Was allerdings bei f_3 der Knackpunkt ist, versteh ich nicht so ganz.
Also der "erste Teil" für f(x)=x für x aus Q ist ja stetig, da dass ja einfach die Winkelhalbierende is, wenn ich mich gerade nicht extrem irre Augenzwinkern
Der zweite Teil der Definition der Funktion leuchtet mir nicht so ganz ein... da ich hier jetzt nur irrationale Zahlen (sqrt(2), Pi...) einsetzen oder wie?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Achtung: So einfach kannst du dich hier nicht aus der Affäre ziehen. Das ist ja sozusagen die Winkelhalbierende mit unendlich vielen "Löchern", an denen die Funktion anders definiert wird.

Wähle mal . Dann ist . Hier kann das Folgenkriterium der Stetigkeit ganz nützlich sein:

f ist genau dann in x_0 stetig, wenn für jede Folge mit gilt, dass auch gilt.

Wenn es nur eine einzige Folge gibt, die zwar derart konvergiert, für die aber gilt, so ist die Funktion in x_0 nicht stetig.

Wir nehmen jetzt erstmal an, dass und ist. Vielleicht siehst du nach dem nächsten Satz schon warum, ansonsten später. Augenzwinkern
Wir wollen jetzt versuchen, eine Folge zu konstruieren, die gegen x_0 konvergiert, deren Bildfolge aber nicht gegen f(x_0) konvergiert. Um das zu schaffen, müssen wir eine Folge finden, deren Glieder immer irrational sind.

Also nochmal in kurz: Konstruiere eine Folge x_n mit , so dass gilt.

Tipp: ist irrational und die Summe einer irrationalen Zahl mit einer beliebigen rationalen Zahl bleibt irrational.

air
m0pf Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt, ich muss eine Folge irrationaler Zahlen finden, die gegen eine rationale Zahl konvergiert, oder hab ich was falsch verstanden?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau das musst du tun. Augenzwinkern
Du musst aber in der Lage sein, zu kontrollieren, dass sie gegen eine bestimmte rationale Zahl konvergiert (nämlich x_0).

air
m0pf Auf diesen Beitrag antworten »

Also eine Folge, die gegen jedes beliebige x_0 konvergiert...
Geh ich Recht in der Annahme, dass die zu konstruierende Folge von x_0 abhängt? Ich kann mir keinen anderen Zusammenhang vorstellen, dass die Folge gegen beliebig gewählte x_0 konvergiert...
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, natürlich muss sie von x_0 abhängen. Würde sie das nicht tun, dann würde sie ja stets gegen den selben Wert konvergieren und nicht gegen eine beliebige rationale Zahl.

air
m0pf Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, werd mir mal noch'n paar Gedanken machen.
Falls mir was einfällt, werd ichs berichten, ansonsten erstatte ich morgen mal wieder bericht smile
m0pf Auf diesen Beitrag antworten »

Hab gerade ne Idee gehabt, kann aber jetzt gerade nicht genauer drüber nachdenken, muss noch meinen Hund vor die Tür lassen Augenzwinkern .
Kannst ja mal sagen, ob da was dran ist und zwar war meine Idee für x_n


Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Da passt gleich vieles nicht:

1) Wäre das für negative x_n nicht definiert
2) Wäre es für nicht-negative x_n einfach gleich x_n
3) Ist es sowieso Quatsch. Du musst sowas wie dastehen haben, wobei das eben von x_0 abhängt.

Denke an meinen Hinweis:

1) x_0 ist rational
2) Wurzel(2) ist irrational
3) Der Quotient einer irrationalen und einer natürlichen Zahl ist irrational
4) Die Summe einer rationalen und einer irrationalen Zahl ist irrational

Das ist schon die halbe Bauanleitung für eine passende Folge ... Augenzwinkern

air
m0pf Auf diesen Beitrag antworten »

Nach deinen erneuten Hinweisen nehme ich an, dass die Folge wohl folgende Bausteine enthält:

und

Damit hätte ich ja zwei irrationale "Teile" der Folge.
Ich hab mich eben schon die ganze Zeit gefragt, ob ich aus 2 irrationalen Zahlen durch Multiplikation/Addition irgendwie eine rationale machen kann.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Wunderbar, das geht in die völlig richtige Richtung Freude

Problem:

Deine erste Folge konvergiert gegen Null und nicht gegen x0.
Deine zweite Folge konvergiert gegen x_0 + sqrt(2) und nicht gegen x0.

Du kannst das jetzt aber geschickt kombinieren bzw. die erste Folge ganz einfach ergänzen. Die erste Folge konvergiert ja gegen Null. Was kannst du machen, um sie dazu zu bringen, gegen x_0 zu konvergieren?

air
m0pf Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt sag mir bitte nicht, dass es einfach



Oh mein Gott, wie stupide... Big Laugh (sofern es stimmt... Augenzwinkern )
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, so einfach ist es Augenzwinkern

Die Folge konvergiert offensichtlich gegen x_0, besteht aber nur aus irrationalen Folgengliedern. Jetzt kommt der spaßige Teil:

Was ist ?
Hinweis: Beachte, dass wir die Folge so konstruiert haben, dass für alle ist. Du weißt also sofort, wie aussieht und musst nur noch den Grenzwert davon bilden.

air
m0pf Auf diesen Beitrag antworten »

Der Grenzwerte von f(x_n) müsste dann doch (x_0)²-x_0 sein, was ungleich x_0 ist, also ist die Funktion nicht steitig in ihrem Def. bereich.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt schießt du arg schnell.

Zum Einen: ist nur dann der Fall, wenn x_0 weder 0 noch 2 ist. Und genau darum haben wir es vorhin ausgeschlossen. Augenzwinkern

Und desweiteren: Was wir jetzt wissen, ist, dass f auf unstetig ist - mehr noch nicht, denn wir haben ja vorausgesetzt.

Für ist unsere Funktion stetig, denn egal welche gegen 2 konvergente Folge wir wählen, es ist nunmal entweder oder und für ist damit , da f sowohl für rationale als auch irrationale Teilfolgen gegen 2 konvergiert (analog für Null).

Bleibt noch der letzte Fall über: Sei . Jetzt willst du also eine Folge, die nur aus rationalen Elementen besteht und gegen eine beliebige irrationale Zahl konvergiert (das genaue Gegenteil von vorhin). Darüber kannst du mal nachdenken. Augenzwinkern

air
m0pf Auf diesen Beitrag antworten »

Also als Beispiel soll einer Folge ist mir folgende eingefallen:



Was ja bekanntlich gegen die irrationale Zahl e konvergiert und nur rationale Folgenglieder hat.
Passt die Idee? Wenn ja, is mir irgendwie nicht ganz klar, wie ich das jetzt gegen eine beliebige irrationale Zahl konvergieren lassen kann..
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Vermutlich kommst du damit auch nicht arg weit.
Sehr hilfreich kann hier sein, dass es für jede reelle (also auch irrationale) Zahl eine darstellende Folge gibt, d.h. eine Folge so dass



Wobei ich jetzt o.B.d.A. mal angenommen habe. Für andere Zahlen muss eben noch vor dem Komma etwas stehen, das sind aber auch nur endlich viele Ziffern.

Nimm also an, du hast für ein x_0 eine solche darstellende Folge. Jetzt konstruiere eine rationale Folge , die von dieser darstellenden Folge abhängt, so dass ist.
Hinweis dafür: Jede Zahl mit abbrechender Folge hinter dem Komma ist rational.

air
m0pf Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie komm ich bei der Konstruktion nicht weiter...
Das mit der darstellenden Folge ist mir klar, durch irgendwelche Basteleien ist es ja immer möglich sich eine Folge so zu konstruieren, dass die gewünschte Ziffernfolge hinter dem Komma auftaucht.
Was mich hier zum verzweifeln bringt, ist die Tatsache, dass ich ja nur rationale Glieder haben darf, diese aber gegen eine irrationale Zahl konvergieren sollen...
Dann muss dann auch irgendwo ein "irrationaler Teil" in meiner Folge stecken, oder nicht?

Das jede hinter dem Komma irgendwann endende Zahl rational ist, ist ja auch logisch, aber bringt mich nicht wirklich weiter...
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte mal



Was kannst du über diese Folge sagen, im Hinblick auf unsere gewünschten Eigenschaften?

air
m0pf Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich Annehme dass
ist, dann bekomme ich ja





usw.

Das Problem ist hier ja scheinbar, also bei meiner Konstruktion von a_k, dass a_k ja nur Werte von 1 - 9 annimmt, es also ab a_10 nicht mehr definiert wäre...
Die Folge x_n hat aber definitiv nur reele Glieder.
Kann ich dann jetzt hier sagen, dass lim x_n irrational ist? Da ich dann ja unendlich viele Nachkommastellen hätte.
Allerdings müsste dann wie angemerkt ja a_k scheinbar noch "umkonstruiert" werden.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso wählst du einfach eine Folge a_k? Diese Folge soll doch unsere darstellende Folge von x_0 sein. Konkret angeben kann man die nicht!

Zitat:
Das Problem ist hier ja scheinbar, also bei meiner Konstruktion von a_k, dass a_k ja nur Werte von 1 - 9 annimmt, es also ab a_10 nicht mehr definiert wäre...


Ja, aber nur weil deine Folge a_k grundlos willkürlich festgelegt wurde.

Zitat:
Die Folge x_n hat aber definitiv nur reele Glieder.


Das stimmt, hilft uns aber nicht. Dass die Folgenglieder reell sind ist nicht, worauf wir hinauswollten!

Zitat:
Kann ich dann jetzt hier sagen, dass lim x_n irrational ist?


Wie soll das gehen, nachdem du festgestellt hast, dass deine Folge x_n für n größer als 9 nichtmal mehr definiert ist?
Für eine "korrekte" darstellende Folge einer irrationalen Zahl (0 <= x_0 <= 1) konvergiert diese Folge x_n aber gerade gegen die Dezimaldarstellung von x_0, also gegen x_0 .. und das ist irrational, ja.

Zitat:
Da ich dann ja unendlich viele Nachkommastellen hätte.


Das ist kein hinreichendes Kriterium für Irrationalität. 1/3 ist eine rationale Zahl und hat auch unendlich viele von Null verschiedene Nachkommastellen.

Zitat:
Allerdings müsste dann wie angemerkt ja a_k scheinbar noch "umkonstruiert" werden.


Wir konstruieren kein a_k, sondern ein x_n. Die darstellende Folge lässt sich nicht konstruieren, sondern du nimmst einfach an, dass du sie gegeben hast. Dies darf man, weil jede reelle Zahl eine solche darstellende Folge hat.

air
m0pf Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich also die von dir konstruiert Folge x_n betrachte, kann ich sagen, da für jede reele Zahl x_0 eine Folge a_k existiert, dass x_n gegen x_0 geht?
a_k würde ja dann immer die k-te Nachkommastelle sein oder?
Also wäre a_(unendlich)/(10^unendlich) prinzipiell die unendlichste Nachkommastelle von x_0?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von m0pf
Wenn ich also die von dir konstruiert Folge x_n betrachte, kann ich sagen, da für jede reele Zahl x_0 eine Folge a_k existiert, dass x_n gegen x_0 geht?
a_k würde ja dann immer die k-te Nachkommastelle sein oder?


Korrekt und korrekt. Augenzwinkern

Zitat:
Also wäre a_(unendlich)/(10^unendlich) prinzipiell die unendlichste Nachkommastelle von x_0?


Jein.
Also zum Einen gilt das nur "prinzipiell" (Unendlichkeiten sind nunmal keine Zahlen). Zum anderen aber ist der von dir genannte Term nicht die Nachkommastelle selbst, sondern viel eher sowas wie "0.0000....00x" mit unendlich vielen Nullen und dann der "unendlichsten Nachkommastelle".

Aber bitte: Nur ganz ganz prinzipiell! Gewissermaßen ist das natürlich Unsinn. Augenzwinkern

Zur Wiederholung: Wir wollten eine Folge konstruieren, die ...

1) gegen x0 konvergiert
2) nur rationale Folgenglieder enthält

Mach dir also klar, dass unsere Folge dies erfüllt. Bedenke unbedingt auch, dass diese Folge nur für funktioniert, mach dir aber auch klar, dass uns dies o.B.d.A. genügt.

Was jetzt noch bleibt, ist für unser gewähltes zu betrachten, was und was ist.

air
m0pf Auf diesen Beitrag antworten »

Da x_0 ja irrational ist, muss ich ja mit der zweiten Vorschrift arbeiten, also wäre


Da x_n ja nur rationale Glieder enthält, muss ich dann die erste Vorschrift benutzen, also wäre
= Der angegebenen Summenformel, deren Grenzwert ja, wie bereits gezeigt, gegen x_0 konvergiert.
Also ist f(x_0)=/=lim f(x_n)

Oder ist da irgendwo ein Denkfehler drin? ^^

/edit: Hab was falsch gemacht, gerade gemerkt, neue Denkprozess im Gange Augenzwinkern

/edit 2: neuer Denkprozess abgeschlossen Augenzwinkern
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Was machst du denn da mit dem Grenzwert? Warum steht der im Argument der Funktion? Der muss außerhalb stehen!
Dass man den Grenzwert reinziehen darf ist gerade die Definition von Stetigkeit, du kannst das nicht also einfach machen, sonst wäre jede Funktion stetig. Augenzwinkern

x_n besteht nur aus rationalen Folgengliedern. Also ist und damit



Und jetzt wissen, wir dass nur für erfüllt ist, das sind aber beides keine irrationalen Zahlen und damit können wir das ausschließen.

Es gilt also für eine Folge und damit ist f auf den irrationalen Zahlen unstetig.

Jetzt fass mal zusammen wo die Funktion stetig und wo sie unstetig ist.

air
m0pf Auf diesen Beitrag antworten »

Ehm, ja das mit den Grenzhwerten war der Fehler den ich im Edit behoben hab, wahrscheinlich als du deine Antwort geschrieben hast Big Laugh

Also wenn ich jetzt alles richtig rauslesen konnte, was wir erarbeitet haben ist die Funktion in

R\(0,2) unstetig und damit in 0 und 2 stetig
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