Verschoben! Übergangsmatrix

09.06.2010, 21:36

Kathz

Übergangsmatrix

Guten Abend alle zusammen!!

Folgende Aufgabe:

Die Telefongesellschaft A-tel, B-tel und C-tel haben den Telefonmarkt erobert und schließen Jahresverträge mit ihren Kunden ab. Tabelle unten zeigt, wie viele Kunden anteilmäßig von Jahr zu Jahr die Gesellschaft wechseln.

Edit (mY+): Verwende nicht das Bildformat BMP, sondern JPG, PNG oder GIF

[attach]15122[/attach]

a) Bestimmen Sie die Übergangsmatrix
b) Am Anfang hat jede Gesellschaft 1/3 aller Kunden unter Vertrag. Wie sieht die Kundenvertelung nach zwei bzw. fün Jahren aus?
c) Wie lange dauert es bis der Anteil von B-tel größer wird als 54,4 %?
Guten Abend alle zusammen!!Meine Überlegung: zu a) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,6 & 0,3 & 0,1 \\ 0,1 & 0,8 & 0,1 \\ 0,1 & 0,2 & 0,7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zu b) Die Übergangsmatrix hoch zwei und nochmal hoch fünf.Ich weiß aber nicht wofür ich die 1/3 nehmen soll.

10.06.2010, 10:35

Cel

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RE: Übergangsmatrix

Zitat:

Original von Kathz
zu a) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,6 & 0,3 & 0,1 \\ 0,1 & 0,8 & 0,1 \\ 0,1 & 0,2 & 0,7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da stimme ich zu! Nennen wir die Matrix mal A.

Zitat:

Original von Kathz
zu b) Die Übergangsmatrix hoch zwei und nochmal hoch fünf.Ich weiß aber nicht wofür ich die 1/3 nehmen soll.

Das "nochmal hoch fünf" - möchtest du das Quadrat hoch fünf nehmen? Dann hättest du die Matrix für 7 Jahre. Du musst A^2 und A^5 berechnen.

Die 1/3 gibt die Startverteilung an. Wie rechnest du denn aus, wie die Verteilung nach 2 Jahren aussieht?

$\begin{eqnarray*} A^2 \cdot v \end{eqnarray*}$ , wobei v dein Startvektor ist. Wie also sieht hier dein v aus? Hast du auch schon Ideen für c)?

10.06.2010, 10:47

Mystic

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RE: Übergangsmatrix

Zitat:

Original von Mr. Brightside
Das "nochmal hoch fünf" - möchtest du das Quadrat hoch fünf nehmen? Dann hättest du die Matrix für 7 Jahre.

Oder genauer für 10 Jahre... Augenzwinkern

10.06.2010, 11:00

Cel

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Huch, natürlich. Danke. Ein weiteres Beispiel dafür, dass man die Potenzregeln in- und auswendig können muss. Big Laugh

10.06.2010, 15:03

Kathz

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Ja ich habe mich da ungeschickt formuliert. Meinte es aber so wie ihr das gesagt habt.
Jedenfalls kommt dahin
$\begin{eqnarray*} A² \cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ v. $\begin{eqnarray*} A^{5} \cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Eigentlich jämmerlich die Aufgabe -.- Danke für eure Hilfe

Zu c)
Muss da ausprobieren. Habe jetzt nicht einen Rechenweg zu gefunden
durch ausprobieren habe ich7 Jahre rausbekommen.

10.06.2010, 15:04

Cel

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Und was ist mit c)? Augenzwinkern

10.06.2010, 15:06

Kathz

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Durch ausprobieren kommen da 7 Jahre bei raus

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