Logarithmus mit ungleichen Basen/Logarithmus und Summen

09.06.2010, 22:21

Ammie

Logarithmus mit ungleichen Basen/Logarithmus und Summen

Hallo erstmal, ich bin neu hier und habe Fragen zu zwei Aufgaben.

1. $\begin{eqnarray*} \log_{2}x=1+\log_{3}x \end{eqnarray*}$
Hier habe ich ein Problem damit, dass es zwei unterschiedliche Basen sind. Ich schaffe es vielleicht gerade noch, EINEN Logarithmus wegzubringen, aber irgendwie bringt mich das nicht weiter:
$\begin{eqnarray*} x = 2^{1+log_{3} x} \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} 8^{x} = 1 + 8^{-x} \end{eqnarray*}$
Bei dieser Aufgabe irritieren mich die Summen. Gesetze oder so kann ich ja nicht wirklich anwenden, dazu bräuchte ich Produkte. Wenn ich aber etwas ausklammere, bringe ich das x nicht weg und weiss dann auch nicht mehr weiter:
$\begin{eqnarray*} 8^{x}-8^{-x} = 1<br /> 8^{x}(1-8^{-2x}) = 1 \end{eqnarray*}$
Natürlich könnte ich es jetzt noch logarithmisieren, aber dieses $\begin{eqnarray*} 8^{-2x} \end{eqnarray*}$ bringt einfach alles durcheinander…

Es wäre echt toll, wenn mir jemand helfen könnte. smile

Vielen Dank schonmal.
LG

09.06.2010, 22:24

lgrizu

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RE: Logarithmus mit ungleichen Basen/Logarithmus und Summen
Willkommen

du kennst die log gesetze?

es ist zum beispiel $\begin{eqnarray*} log_a (b)=\frac{log_c(b)}{log_c(a)} \end{eqnarray*}$ .
damit kann man einen basiswechsel zu einer beliebigen basis durchführen.

09.06.2010, 22:45

Ammie

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RE: Logarithmus mit ungleichen Basen/Logarithmus und Summen
Oh Mann, dieses Gesetz habe ich ja ganz vergessen… Uaa, das ist einfach alles viel zu viel! Big Laugh

Aber danke! Ich habe jetzt immerhin ein Resultat bekommen (6.541). Es könnte sogar sein, dass es stimmt. Tanzen

Hat jemand eine Idee für die andere Aufgabe?

09.06.2010, 22:45

corvus

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RE: Logarithmus mit ungleichen Basen/Logarithmus und Summen
und hier noch ein Tipp zu deiner zweiten Aufgabe:

Zitat:

Original von Ammie

$\begin{eqnarray*} 8^{x} = 1 + 8^{-x} \end{eqnarray*}$

Bei dieser Aufgabe irritieren mich die Summen. ..bringe ich das x nicht weg ..

ja, denn du hast hier eine (etwas versteckte) quadratische Gleichung:

$\begin{eqnarray*} 8^{x} - 1 - 8^{-x} = 0 \end{eqnarray*}$

multipliziere jetzt mal beide Seiten mit 8^x :

$\begin{eqnarray*} [8^{x}]^2 - [8^{x}] - 1 = 0 \end{eqnarray*}$

und substituiere nun noch 8^x=z :

$\begin{eqnarray*} z^2 - z - 1 = 0 \end{eqnarray*}$

kannst du diese Gleichung lösen?

dann solltest du überlegen, warum nur die positive Lösung für z weiterhilft .

so, dann kannst du noch dein x berechnen: ln(8^x) = x*ln(8) = ln(z)

usw..

ok?

09.06.2010, 23:20

Ammie

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RE: Logarithmus mit ungleichen Basen/Logarithmus und Summen
Und da soll ich jemals selbst draufkommen? Das wäre mir nie im Leben eingefallen! :O Big Laugh

Aber irgendetwas mache ich immer noch falsch.
Ich habe also $\begin{eqnarray*} z=\frac{1\pm \sqrt{3} }{2} \end{eqnarray*}$ erhalten (wobei die negative Lösung keinen Sinn macht, weil eine Potenz mit einer positiven Basis niemals negativ sein kann).
Sprich:
$\begin{eqnarray*} x\cdot \ln8=\ln\frac{1+ \sqrt{3} }{2} <br /> x=\frac{\ln\frac{1+\sqrt{3} }{2} }{\ln8} \thickapprox 0.15 \end{eqnarray*}$

Wenn ich dieses Resultat aber einsetze, stimmt die Gleichung nicht! Was hab ich falsch gemacht?

Woa, ich liiiebe LaTeX! Big Laugh

Edit: Mein Taschenrechner hat mir gerade gesagt, das $\begin{eqnarray*} \frac{1\pm \sqrt{3} }{2} \end{eqnarray*}$ stimme nicht… Hilfe… Ich kann nicht einmal mehr quadratische Gleichungen ausrechnen!!!

Edit 2: Ah, jetzt weiss ich’s: Es ist Wurzel von fünf, nicht von drei. smile

09.06.2010, 23:30

corvus

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RE: Logarithmus mit ungleichen Basen/Logarithmus und Summen
.

Zitat:

Aber irgendetwas mache ich immer noch falsch.

ja - du hast die quadratische Gleichung nicht richtig gelöst ..
(was soll die 3 unter der Wurzel unglücklich

)

probier es nochmal.. -> ...

nebenbei die gute Nachricht zu Aufgabe 1:

Zitat:

habe jetzt immerhin ein Resultat bekommen (6.541).
Es könnte sogar sein, dass es stimmt.

... es könnte nicht nur .. es stimmt . Freude

09.06.2010, 23:35

Ammie

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RE: Logarithmus mit ungleichen Basen/Logarithmus und Summen

Zitat:

Original von corvus
.

Zitat:

Aber irgendetwas mache ich immer noch falsch.

ja - du hast die quadratische Gleichung nicht richtig gelöst ..
(was soll die 3 unter der Wurzel unglücklich

)

probier es nochmal.. -> ...

Habe es auch gerade gemerkt… Und ich dachte, WENN ich etwas in- und auswendig kenne, dann ist das diese Formel für quadratische Gleichungen. Ich sollte mal echt zu Bett gehen…
Mein neues Resultat ist übrigens 0.2314, und – tataaaaaaa – wenn man das einsetzt, stimmt es. smile

JUHUUUU!!!

Zitat:

nebenbei die gute Nachricht zu Aufgabe 1:

Zitat:

habe jetzt immerhin ein Resultat bekommen (6.541). Es könnte sogar sein, dass es stimmt.

... es könnte nicht nur .. es stimmt . Freude

JAAAAAA!!! ICH LIIIIIEBE MATHE!!! *gerade voll den Dopaminschub hab*

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