Bedeutung Erwartungswert

01.11.2006, 16:38

wing

Bedeutung Erwartungswert

Hallöchen,

ich habe mal eine kurze Frage:

was sagt mir $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(min(X_1,X_2)) \end{eqnarray*}$ eigentlich genau aus, wenn $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ unabhängig von einander verteilt sind?

Ist das der minimale Erwartungswert von zwei unabhängigen Variablen?

Ich meine, wenn jede Zufallsvariable seiner eigene Verteilung unterliegt z.B. Exponentialverteilung, dann hat auch jede ihren eigenen Erwartungswert mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\lambda} \end{eqnarray*}$
Laut Definition berechnet man mit
$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(min(X_1,X_2)) = \int_0^\infty~\bar{F}_1(x) \cdot \bar{F}_2(x)~dx \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} \bar{F}_i(x)= 1- F_i(x) \end{eqnarray*}$
Durch Einsetzten der Dichtefunktion für Exponentialverteilungen kommt als Ergebnis heraus:
$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(min(X_1,X_2)) = \frac{1}{\lambda_1 + \lambda_2} \end{eqnarray*}$
Welche Rolle spielt dann das "min"? Denn eigentlich wird doch nur der gemeinsame Erwartungswert von beiden Zufallsvariablen berechnet. ist das dann vielleicht der minimale gemeinsame Erwartungswert von den beiden Zufallszahlen?

Ich würde mich über einen Beitrag von Ech sehr freuen :-)

01.11.2006, 16:53

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Nein, es ist nicht das Minimum der Erwartungswerte, sondern der Erwartungswert des Minimums! Beide Operationen - Erwartungswert und Minimumbildung - sind nicht miteinander vertauschbar. Ob die beiden Zufallsgrößen unabhängig sind oder nicht, spielt bei dieser Begriffsbildung keine Rolle, erst bei der Berechnung.

Zitat:

Original von wing
Laut Definition berechnet man mit
$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(min(X_1,X_2)) = \int_0^\infty~\bar{F}_1(x) \cdot \bar{F}_2(x)~dx \end{eqnarray*}$

Das gilt nur für positive Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X_1,X_2 \end{eqnarray*}$ (was für die Exponentialverteilung natürlich der Fall ist). Und es ist keine Definition, sondern eine Eigenschaft, die
aus der Verteilungsfunktionsdarstellung

$\begin{eqnarray*} \bar{F}_{\min(X_1,X_2)}(t) = \bar{F}_{X_1}(t) \cdot \bar{F}_{X_1}(t) \end{eqnarray*}$

für das Minimum zweier unabhängiger Zufallsgrößen, sowie aus der Erwartungswertdarstellung

$\begin{eqnarray*} E(X) = \int\limits_0^{\infty} ~ (1-F_X(t)) ~ \dd t \end{eqnarray*}$

für positive Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ folgt. Also nochmal: Nix Definition, sondern ausschließlich Folgerung aus Minimum + Unabhängigkeit!

01.11.2006, 18:28

wing

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Danke
Achso, da hatte ich einen kleinen denkfehler bezüglich der Interpretation:

Danke! :-)

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