Mengen untere/obere Schranke sup(M) inf(M)

10.06.2010, 12:17

kirschi

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Mengen untere/obere Schranke sup(M) inf(M)

Meine Frage:
Hallo, ich bin Studentin im 1. Fachsemester und habe Probleme bei folgender Aufgabe:

Bestimmen Sie für die folgenden Mengen M jeweils die zugehörigen Mengen OM der
oberen Schranken bzw. UM der unteren Schranken, sofern diese ?? sind und bestimmen
Sie supremum(M) bzw. infimum(M), sofern existent!

a)M={x Element von R | x<= 1 oder xhoch2 < 4};

b)M={x Element von N | xhoch3 < 64} als Teilmenge von i) N ii) R ;

c)M={x Element von Q | x >= -1 und xhoch2 < 3} als Teilmenge von i) Q ii) R ;

Ich habe keine Ahnung wie ich anfangen, bzw. das lösen soll!
Wenn mir jemand helfen, oder Vorschläge machen könnte, wäre das echt super!

Vielen Dank schonmal :-)

Meine Ideen:
Ich habe keinerlei Ansätze für die Lösung der Aufgabe, weil ich wirklich nicht weiss wie ich anfangen soll!
Bitte um Hilfe.

Vielen Dank schonmal für hilfen :-)

10.06.2010, 12:58

Cel

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Löse doch mal die Ungleichungen, die angegeben sind. Das kannst du doch bestimmt?

10.06.2010, 13:12

kirschi

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Meinst du :
a)
x<= 1 oder xhoch2 < 4 ;

b)
xhoch3 < 64 ;

c)
x >= -1 und xhoch2 < 3 ?

a) wäre ja dann für 1. x die 1,0,-1...;
fürs 2. x weiss ichs nicht. wenn ich 2 einsetze kommt ja 4 raus, aber soll ja <4 sein. Also 1?

b) würd ich 3 einsetzen, weil ja 4^3 schon 64 ist und es ja auch wieder <64 sein soll.

c) also für 1. x -1 und für 2. x 1

Stimmt das soweit?

10.06.2010, 13:27

Cel

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Teilweise handelt es sich ja um reelle Zahlen, da müsstest du Intervalle angeben. Aber so schlecht ist das, was du geschrieben hast, nicht. Für $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \text{ bzw. } \mathbb R \end{eqnarray*}$ ergeben sich unterschiedliche Ergebnisse.

a) Lösungsmenge ist $\begin{eqnarray*} (-\infty, 1) \cup (-2,2) = (-\infty, 2) \end{eqnarray*}$

Was ist hier mit Schranken bzw. Supremum / Infimum?

10.06.2010, 14:07

kirschi

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$\begin{eqnarray*} (-\infty, 1) \cup (-2,2) = (-\infty, 2) \end{eqnarray*}$

ist das jetzt für a) ?
Wenn ja, warum ist es $\begin{eqnarray*} (-\infty, 2) \end{eqnarray*}$ ?

Ich weiss nicht wie ich Sup und Inf der Mengen M ableiten kann.

10.06.2010, 14:10

kirschi

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du meinst also mit Intervallen das:
[0,1]={x Element von R | 0 <= x <= 1} ?
also was in [] steht?

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10.06.2010, 14:11

Cel

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Ja, aber eben nur, wenn die reellen Zahlen als Grundlage dienen.

10.06.2010, 14:19

kirschi

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ok, und wie ist dass dann bei Q und N?

10.06.2010, 14:28

kirschi

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wenn ich das richtig verstehe, dann ist bei

(-unendlich, 2)

das inf(M)= -unendlich und das sup(M)=2 ?

10.06.2010, 14:30

Cel

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Du kannst Intervalle auch als Teilmengen von Q und N sehen, aber dann kann man eben nicht jede Zahl aus dem Intervall als z. B. Schranke nehmen. Aber fang doch jetzt mal an, da kommen wir dann zu gegebener Zeit zu.

10.06.2010, 14:38

kirschi

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also bei a)
linksseitig unendlich abgeschlossenes Intervall:
(-unendlich,b]=]-unendlich,b]:={x Element von R|x<=b} für das erste x

dann kommt ∨ :
linksseitig unendlich offenes Intervall:
(-unendlich,b)=]-unendlich,b[:={x Element von R|x<b} für das zweite

bei b) ii)
rechtsseitig unendlich offenes Intervall:
(a, unendlich)=]a,unendlich[:={x Element von R|a<x}

und jetzt?

10.06.2010, 14:40

Cel

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Das sind Definitionen. Du solltest deine Ideen für eine Lösung posten. Also, was sind denn deiner Meinung nach Schranken u.s.w.?

10.06.2010, 14:52

kirschi

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oh sorry, steh auf dem schlauch:-(

also für a)
zb. für das 2. x also xhoch2<4= die wurzel von 4 = 2 also ist 2 die obere Schranke von x Element R?
4 ist also die größte obere Schranke?

und bei x<=1 ist 1 die größte obere Schranke?

10.06.2010, 15:33

Cel

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Zitat:

Original von kirschi
zb. für das 2. x also xhoch2<4= die wurzel von 4 = 2 also ist 2 die obere Schranke von x Element R?
4 ist also die größte obere Schranke?

und bei x<=1 ist 1 die größte obere Schranke?

Beim ersten nennst du zwei Schranken? Ich habe die Lösung doch schon aufgeschrieben. Außerdem gibt es nicht "die" obere Schranke, wohl aber "die kleinste (!) obere Schranke". Du suchst nicht die "größte obere Schranke", die gibt es hier nämlich nicht.

10.06.2010, 15:53

kirschi

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also bei a) ist es (-unendlich, 2) ?

und wie ist es bei den anderen Aufgaben?
ich versteh es echt nicht.

10.06.2010, 16:39

kirschi

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Ich habe bezüglich dieser Aufgabe eine Beispielaufgabe meines Profs gefunden:

M={x|x^2<49} c IN

gesucht:
OM = {r|r >= x für alle x Elemente von M}
UM = {s|s <= x für alles x Elemente von M}

OM = {r Element von IN|r>=7} c IN
UM = {0} c IN

min OM = sup(M)=7
max UM = inf(M)=0

M = {x|x^2<49}
= {x|x <7 und x>-7}=]-7,7[

OM = {x Element IR|x >= 7}=[7, unendlich[
UM = {x Element IR|x <= -7}=]-unendlich, -7}

=> min OM = sup(M) = 7; max UM = inf(M) = -7

wie kann ich das jetzt auf die anderen Aufgaben übertragen?

10.06.2010, 16:51

kirschi

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also wenn ich die ungleichungen löse:

a) x<=1 bleibt ja dann

oder= x^2<4 = x=2

b) x^3= x<4

c) x>=-1 bleibt, dann x^2<3 = x<1,7320...

so richtig?

10.06.2010, 17:23

Cel

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Irgendwie schreibst du nicht sehr sorgfältig, muss ich sagen. Benutz doch den Formeleditor (rechts) für die ganzen Potenzen und so ...

Du hast den Sinn der Aufgabe wohl nicht so richtig verstanden. Und machen wir doch mal alles der Reihe nach.

Bei a) ist die Menge gleich $\begin{eqnarray*} (-\infty, 2) \end{eqnarray*}$ . Was sind davon jetzt Schranken? Diese Mengen OM und UM zu bestimmen, dürfte auch nicht sehr schwer sein. Wende doch die Definition einfach an, du weiß immerhin $\begin{eqnarray*} M = (-\infty, 2) \end{eqnarray*}$ .

10.06.2010, 18:31

kirschi

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kannst du mir denn sagen, was bei den anderen teilaufgaben rauskommt?

ich steh auf dem Schlauch. ich blicke hier nicht mehr durch:-(

wenn es dann $\begin{eqnarray*} (- \infty , - 2) \end{eqnarray*}$ heisst,
ist dann $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$ die untere und $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ die kleinste obere Schranke?
Hilfe!

10.06.2010, 18:34

Cel

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Zitat:

Original von kirschi
kannst du mir denn sagen, was bei den anderen teilaufgaben rauskommt?

Nein. Das widerspricht dem Boardprinzip.

Zitat:

Original von kirschi
wenn es dann $\begin{eqnarray*} (- \infty , - 2) \end{eqnarray*}$ heisst,
ist dann $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$ die untere und $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ die kleinste obere

Also auch 25 ist eine obere Schranke. Und die KLEINSTE obere Schranke ist tatsächlich -2, es geht doch.

$\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ ist keine reelle Zahl, aber gerade solche sind Schranken. Was heißt das? Die Menge ist nach unten unbeschränkt.

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