Reihenwert einer Potenzreihe

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Blacks Auf diesen Beitrag antworten »
Reihenwert einer Potenzreihe
Hallo zusammen!

Ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:

Bestimmen Sie den Konvergenzradius folgender Potenzeihe und geben Sie falls möglich den Reihenwert an:


Den Konvergenzradius konnte ich zu p=1 bestimmen.
Allerdings macht mir der Reihenwert große Probleme:
Ich denke, dass ich die geometrische Reihe zu Hilfe ziehen muss. Hierfür stört aber die Wurzel im Nenner. Nachdem ich recherchiert habe, ist das Stichwort wohl "gliedweise differenzieren". Nachdem ich dies versucht habe, komme ich aber nicht auf Umformungen, die mir weiterhelfen.
Ich hoffe, dass ihr das könnt!

Vielen Dank schonmal im Voraus.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihenwert einer Potenzreihe
Zitat:
Original von Blacks
Ich hoffe, dass ihr das könnt!


Tja, wie heißt man so schön: Unmögliches wird sofort erledigt, auf Wunsch wird auch gehext. Nur Wunder dauern etwas länger... Big Laugh

PS. Ich würde mir an deiner Stelle lieber Gedanken machen, ob es wirklich oder nicht doch heißen sollte, was mehr Sinn macht, aber an dem, was ich gesagt habe, nichts ändern würde...
 
 
Blacks Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe im ersten Beitrag die Klammern nach deinem Hinweis hinzugefügt, wo sie auch hingehören.

Verstehe ich das richtig, dass der Reihenwert also nicht, bzw. nicht ohne Weiteres zu bestimmen ist?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Blacks
Verstehe ich das richtig, dass der Reihenwert also nicht, bzw. nicht ohne Weiteres zu bestimmen ist?

Ja, das verstehst du richtig... Ich vermute mal, diese Aufgabe ist nur eine von mehreren ähnlichen Aufgaben, wobei für einige der anderen Reihen der Reihenwert bestimmbar ist, in diesem Fall aber eben nicht...
Blacks Auf diesen Beitrag antworten »

Und ich dachte schon, dass ich einfach zu blöd für die Aufgabe bin...

Du hast Recht, es ist nur eine von 6 ähnlichen Aufgaben. Ich werde die gleich noch bearbeiten und mich dann noch mal melden.

Aber schonmal vorab:
Woran kann ich erkennen, ob der Reihenwert bestimmbar ist oder nicht?
Auf den ersten Blick kann ich nämlich nicht sagen, ob dies bei den anderen Aufgaben der Fall ist.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Blacks
Woran kann ich erkennen, ob der Reihenwert bestimmbar ist oder nicht?

In etwa so einfach, wie man erkennen kann, ob eine Funktion geschlossen integrierbar ist. Augenzwinkern
Blacks Auf diesen Beitrag antworten »

Integration kommt erst zwei Kapitel später, aber offensichtlich ist dies nicht einfach...

Ich habe jetzt alle 6 Aufgaben bearbeitet und bin zu folgenden Ergebnissen gekommen:


p=1 ; Reihenwert nicht möglich.


p= ; Reihenwert nicht möglich.


p= ; Reihenwert:


p=0 ; Reihenwert=0.


p=0 ; Reihenwert=0.


p=0 ; Reihenwert=0.


Bei den letzten 3 Aufgaben fällt mir vor Allem auf, dass der Reihenwert durch den Konvergenzradius=0 auch zu 0 wird. Ist das richtig?

Wäre nett, wenn einer von Euch drüber schauen könnte.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Blacks
Bei den letzten 3 Aufgaben fällt mir vor Allem auf, dass der Reihenwert durch den Konvergenzradius=0 auch zu 0 wird. Ist das richtig?

Bei e) und f) nicht. unglücklich
Blacks Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hier mal meine Rechenwege für den Konvergenzradius bei e) und f):

e) Ich habe mir erlaubt, die Betragsstriche weg zu lassen.

,da

f) Auch hier ohne Betragsstriche.


Ich habe also in beiden Fällen die Quotientenmethode angewandt.
Da die Reihen "normale" Potenzreihen der Form wird jeder Summand mit x=0 auch zu 0.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

In beiden Fällen machst du die merkwürdige Umformung

.

Tatsächlich ist

,

was beide Rechnungen fundamental ändert.
Blacks Auf diesen Beitrag antworten »

Grob fahrlässig von mir...
Aus irgendeinem Grund habe ich gedacht, dass gilt, so als ob dort stehen würde: .

Ich rechne nochmal durch und melde mich wieder.
Auf jeden Fall schon mal danke für die schnell Hilfe!
Blacks Auf diesen Beitrag antworten »

So, neue Ergebnisse. Für Aufgabe e) erhalte ich als Konvergenzradius nun 1/4.
Allerdings fehlt mir für den Reihenwert jeglicher Ansatz. Ist dieser wieder nicht möglich?

Bei Aufgabe f) setze ich da an, wo ich noch keinen Fehler gemacht habe:

f)
Bei Konvergenz gegen ist der Konvergenzradius=0.
Demnach wäre der Reihenwert auch wieder 0.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Blacks
Bei Konvergenz gegen ist der Konvergenzradius=0.

Erfinde hier mal nicht nach Lust und Laune neue Regeln, sondern halte dich an die bestehenden. Und die sagen, dass der Konvergenzradius hier ist.
Blacks Auf diesen Beitrag antworten »

Mathematiker haben manchmal die Angewohnheit, dass Ihnen bei Anfängern ein wenig das Feingefühl fehlt Augenzwinkern

In meinem Skript steht folgender

Satz 1.3 Gegeben sei die Potenzreihe . Es seien fast alle und . Für gilt , und man hat , falls dieser Grenzwert existiert.

Dies ist doch hier der Fall, oder verstehe ich den Satz falsch?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Blacks
Mathematiker haben manchmal die Angewohnheit, dass Ihnen bei Anfängern ein wenig das Feingefühl fehlt Augenzwinkern

In meinem Skript steht folgender

Satz 1.3 Gegeben sei die Potenzreihe . Es seien fast alle und . Für gilt , und man hat , falls dieser Grenzwert existiert.

Dies ist doch hier der Fall, oder verstehe ich den Satz falsch?


Naja, ich fürchte, ich muss mich da leider im Prinzip Arthur anschließen...

Du hast dich zwar an den Wortlaut des Satzes gehalten, das ist richtig, aber dir hätte auffallen müssen, dass da was nicht stimmen kann... Einerseits ist nämlich , wenn der rechtsseitige Grenzwert existiert, was qualititativ gut aussieht (je stärker im Verhältnis zu abfällt, desto größer der Konvergenzradius!), andererseits soll im Falle , wofür man auch manchmal schreibt, dann plötzlich p=0 sein... Das ist ja gegen alle Regeln der Logik! ... geschockt

Meine Empfehlung (hoffentlich mit dem nötigen "Feingefühl" für die Schwierigkeiten eines Anfängers Augenzwinkern ): Schau dir mal den Beweis des Satzes an, der ja hoffentlich auch im Skript steht, und versuch herauszufinden, wo genau da der Fehler passiert ist...

PS. Übrigens vermute ich sehr stark, dass dein p für den Konvergenzradius eigentlich ein ist, obwohl das nicht wirklich eine Rolle hier spielt...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Das ist ja gegen alle Regeln der Logik!

Genauso ist es, und sowas sollte einem wirklich auffallen, auch wenn man kein Mathematiker ist. Nach dieser seltsamen Regel besitzen nämlich viele bekannte Potenzreihen plötzlich den Konvergenzradius 0, als da wären , um nur einige zu nennen. geschockt
Blacks Auf diesen Beitrag antworten »

Seltsam kam es mir auch vor, aber ich habe es hingenommen.

Einen Beweis dazu gibt es in meinem Skript leider nicht, nur einen Verweis auf das Quotientenkriterium.
Die Bücher, die ich zur Verfügung habe, gehen daraif leider noch weniger ein.
Im Internet, unter anderem Wikipedia, habe ich den Beweis aber gefunden und dort geht diese widersprüchliche Behauptung nicht hervor.

Ist es nun also ein Fehler in meinem Skript oder vielmehr ein Fehler meiner Anwendung des Satzes?





Mein p für den Konvergenzradius ist tatsächlich ein kleines Rho, also: Augenzwinkern
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Satz 1.3 Gegeben sei die Potenzreihe . Es seien fast alle und . Für gilt

Wenn der Satz wirklich genauso dasteht, dann ist er falsch.

Bist du wirklich sicher, dass da nicht vielleicht abweichend steht? In dem Fall wäre der Satz (bis zur Stelle im Zitat) nämlich richtig.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Bist du wirklich sicher, dass da nicht vielleicht abweichend steht? In dem Fall wäre der Satz (bis zur Stelle im Zitat) nämlich richtig.

Daran habe ich auch schon gedacht, allerdings wäre dann die weitere Behauptung des Satzes falsch, nämlich für den Fall, dass existiert...

Edit: Ja, ich habe gesehen, dass du geschrieben hast, "bis zur Stelle im Zitat"... Ich denke aber, die bessere Art der Korrektur wäre hier, den uneigentlichen Grenzwert einfach zuzulassen, was die Sache dann auch mnemotechnisch sehr vereinfacht...
Blacks Auf diesen Beitrag antworten »

Es steht tatsächlich so im Skript, wie es zitiert habe.

Für würde zwar gelten für , aber es müsste gelten, nicht wahr?

Damit wäre, egal wie man es dreht und wendet, ein grober Fehler im Skript!




Edit: zu langsamAugenzwinkern
Blacks Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nun in meinem Skript den Satz durch abgeändert.
Kümmere ich mich nun aber um den Reihenwert, fehlt mir, wie weiterhin bei e), jeglicher Ansatz.
Eine sinnvolle Teleskop-Summe kann ich nicht erkennen und für die geometrische Reihe stört .


In diesem Thema habe ich eine Frage gestellt, aus der sich ein weiteres Problem zu dem Konvergenzradius ergibt:

Berechnen Sie den Konvergenzradius r der Potenzreihe

i stellt hierbei die imaginäre Einheit dar.

Zunächst schien mir die Quotientenmethode sinnvoll zu sein:

Hier ergibt sich aber ein komplexer Konvergenzradius, was scheinbar nicht sein kann.
Daraufhin habe ich die Wurzelmethode versucht:
, woraus folgt: .
Wieder der gleiche komlpexe Konvergenzradius. böse

Potentielle Fehler sehe ich in folgender Schritten:

und
.
Kühlkiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ne ne, so geht's nicht.
Guck Dir nochmal an wie ihr den Konvergenzradius definiert habt.
Ich bin mir sicher, dass er reellwertig ist.
Genauer: .

Der Betrag der komplexen Zahl berechnet sich übrigens folgendermaßen:
Blacks Auf diesen Beitrag antworten »

...
Ich glaube, der Groschen ist gefallen
...

Meine Rechnungen sind fast richtig, nur dass ich die Beträge souverän ignoriert habe.
Der Konvergenzradius ist nämlich:
und damit reell.
So richtig?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Blacks
Kümmere ich mich nun aber um den Reihenwert, fehlt mir, wie weiterhin bei e), jeglicher Ansatz.

Ok, also zum Wert bei e): Es ist

,

woraus



folgt - Stichwort: binomische Reihe.
Blacks Auf diesen Beitrag antworten »

und damit .
Allerdings muss ich sagen, dass ich im Leben nicht von alleine darauf gekommen wäre.

Hast du vielleicht noch einen Tip für f)?
Kühlkiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Blacks
Hast du vielleicht noch einen Tip für f)?


Exponentialreihe!
Blacks Auf diesen Beitrag antworten »

Die Idee hatte ich auch schon, wobei ich den Faktor aus der Summe rausgezogen habe und substituiert habe, sodass ich zumindest auf folgende Form komme:
, mit .
Nur stört mich hierbei der Faktor, um die Exponentialreihe anwenden zu können.
Kühlkiste Auf diesen Beitrag antworten »

Potenzgesetze: 5. Schuljahr! Lehrer

Blacks Auf diesen Beitrag antworten »

natürlich...blöd von mir...

also:


Richtig soweit?
Kühlkiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Blacks
Richtig soweit?


Natürlich!
Blacks Auf diesen Beitrag antworten »

Das erleichtert mich.

Jetzt habe ich nur noch eine letzte Frage:
Bei Aufgabe b) habe ich ja angegeben, dass dei Bestimmung des Reihenwertes nicht möglich ist (im Rahmen meiner Möglichkeiten). Soweit ich nichts übersehen habe, hat sich noch niemand dazu geäußert. Stimmt dies oder habe ich auch dort einen Fehler gemacht?
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