Teilerfremdheit im Integritätsring |
| 10.06.2010, 14:37 | PowerMod | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Teilerfremdheit im Integritätsring Sei R Integritätsring mit 1 Wir haben definiert: a,b aus R sind teilerfremd, falls ggT(a,b) eine Einheit ist. Meine Ideen: Beispiel: R = Z/7Z ggt(2,4) = 2 2 ist Einheit, da 2*4 = 1 mod 7 also sind 2 und 4 teilerfremd in Z/7Z ? oder ist der ggT vielleicht gar nicht 2 ? |
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| 10.06.2010, 15:06 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Teilerfremdheit im Integritätsring
In jedem Körper (und ist ja ein Körper) sind beliebige zwei Elemente stets teilerfremd, außer in dem trivialen Fall ... Übigens: Gibt's auch Integritätsringe ohne Einselement? So ein Unikum ist mir jedenfals noch nie begegnet... 
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| 10.06.2010, 17:26 | PowerMod | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja, aber was ist denn der ggT(2,4) in Z/7Z? irgendwie macht es keinen sinn nach dem ggT zu fragen, da jedes element jedes andere teilt |
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| 10.06.2010, 17:31 | PowerMod | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ah, hab grad die antwort von meinem dozenten bekommen. er meint, dass der ggt nicht eindeutig ist. alle einheiten sind der ggt von 2 und 4. |
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| 10.06.2010, 17:37 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, der ggT(a,b) von zwei Elementen a und b in einem Integrätsring R ist ja prinzipiell nur bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmt...Machmal hat man eine "vernünftige" Normierungsvorschrift, die aus jeder Klasse assozierter Elemente eines speziell auszeichnet...Im konkreten Fall würde man wohl 1 und 0 in diesem Sinn auszeichnen und dann wäre ggT(2,4)=1 in Z/7Z.
Du sagst es, die ganze Teilbarkeitslehre bricht in Körpern zusammen und wird total nutzlos, dafür leistet sie in in Integritäsringen, die keine Körper sind, oft sehr Nützliches... 
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| 10.06.2010, 17:42 | Manus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Teilerfremdheit im Integritätsring
Die meisten Menschen Verlangen in Integritätsbereichen das Vorhandensein der 1 (in endlichen Int.bereichen, ist die 1 ohnehin immer enthalten). Wenn man das nicht fordert wäre ein Gegenbeispiel. (Das Lieblingsbeispiel von Jester für einen Ring ohne 1) |
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