Korrelationskoeffizient

10.06.2010, 20:12	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Korrelationskoeffizient Nabend zusammen, ich hab ein Problem mit folgender Aufgabe: Seien $\begin{eqnarray} X,Y \end{eqnarray}$ zwei quadratisch int.bare ZVen mit $\begin{eqnarray} V(X),V(Y)>0 \end{eqnarray}$ dann: $\begin{eqnarray} \|\operatorname{corr}(X,Y)\| = 1 \Leftrightarrow \exists a,b\in \mathbb{R},a\neq 0 : P(Y=aX+b)=1 \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \operatorname{corr} \end{eqnarray}$ der Korrelationskoeffizient ist. Meine Ideen: Die Richtung " $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ " ist ja trivial, aber die Rückrichtung weiß ich garnicht genau was ich zu tun hab. Ich hab schon eingesetzt und mal etwas umgeformt und kriege im Endeffekt aber immer nur Gleichungen für die Varianz oder den Erwartungswert heraus. Irgendwie muss ich jetzt aber auf die ZVen selbst kommen, aber leider keine Idee wie ich da über das Integral dran komme. Weiß jemand Rat?
10.06.2010, 20:41	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip handelt es sich dabei um die CSU (nein, nicht die Partei), insbesondere um die Frage nach Gleichheit in dieser Ungleichung.
10.06.2010, 21:50	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Na das ist ja mal eine coole Beobachtung. Etwas unklar ist mir aber noch, warum das "+b" da dann hinkommt. Cauchy-Schwarz sagt ja bei linearer Abhängigkeit gilt die Gleichheit. Die Funktionen $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ wären ja für $\begin{eqnarray} aX=Y \end{eqnarray}$ P-f.ü. linear abhängig, wenn $\begin{eqnarray} b\neq 0 \end{eqnarray}$ kann ich aber nicht mehr nicht-trivial die Nullfunktion linear kombinieren oder? edit: hat sich erledigt ich hatte vergessen dass X und Y ja nicht direkt in der ungleichung stehen Danke nochmal für den tollen Tipp
10.06.2010, 22:14	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau: Du wendest die CSU also nicht auf $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ an, sondern auf die "zentrierten" Zufallsgrößen $\begin{eqnarray} X-E(X) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y-E(Y) \end{eqnarray}$ .

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