Fermat-Primzahlen

10.06.2010, 22:12

kinogutschein

Fermat-Primzahlen

Meine Frage:
Hallo,
ich habe einen Text zu Mersenne- und Fermat-Primzahlen (letzteres wie man weiß ja nur für n<5).
Folgenden Beweis des Satzes versuche ich nachzuvollziehen, bleib jedoch schon relativ am Anfang hängen.
Satz:
Ist $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ein Primteiler von $\begin{eqnarray*} F_n=2^{(2^n)}+1 \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} p\equiv 1 \mod 2^{n+2} \end{eqnarray*}$ .

Beweis:
Gilt $\begin{eqnarray*} p|F_n \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} 2^{(2^n)}\equiv -1 \mod p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2^{(2^{n+1})}\equiv 1 \mod p \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} ord_p[2]=2^{n+1} \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray*} p-1|2^{n+1} \end{eqnarray*}$ .
Der Satz geht noch weiter, aber die letzte Schlussfolgerung in diesem Teil kann ich nicht nachvollziehen.

Meine Ideen:
Dass $\begin{eqnarray*} 2^{(2^n)}\equiv -1 \mod p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2^{(2^{n+1})}\equiv 1 \mod p \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} ord_p[2]=2^{n+1} \end{eqnarray*}$ gilt, ist mir soweit klar.
Meines Erachtens folgt aber aus $\begin{eqnarray*} 2^{(2^{n+1})}\equiv 1 \mod p \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} 2^{(2^{n+1})}-1|p \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} 1-2^{(2^{n+1})}|p \end{eqnarray*}$ . Ich schaffe es durch Umformen nicht, auf $\begin{eqnarray*} p-1|2^{(2^{n+1})} \end{eqnarray*}$ zu kommen.
Ich dachte mir, wenn ich das schaffe, kann ich daraus schlussfolgern, dass $\begin{eqnarray*} p-1|2^{n+1} \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} 2^{(2^{n+1})} \end{eqnarray*}$ ein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ ist. Wäre das soweit richtig? :-) Vielen Dank für eure Antworten :-)

Edit: Mod ersetzt mod durch \mod. Gruß, Reksilat.

11.06.2010, 10:56

Reksilat

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RE: Fermat-Primzahlen

Zitat:

Original von kinogutschein
...also $\begin{eqnarray*} ord_p[2]=2^{n+1} \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray*} p-1|2^{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Die letzte Folgerung ist auch falsch. Dann müsste ja jeder Primteiler einer FPZ wieder eine FPZ sein und das stimmt nicht.
Andersherum wird aber ein Schuh draus:
Aus $\begin{eqnarray*} ord_p[2]=2^{n+1} \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} 2^{n+1}|p-1 \end{eqnarray*}$ . Stichwort: kleiner Fermat.

Gruß,
Reksilat.

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