ableitung und nullstellen...

11.06.2010, 00:03

analysisisthedevil

ableitung und nullstellen...

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x} ln^2(3x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{-1}{x^2} \cdot \left(ln(3x)\right)^2 + \frac{2}{x} \cdot \left(ln(3x)\right) \cdot \frac{1}{3x} \cdot 3=\frac{1}{x^2} ((-ln(3x))^2+2\cdot ln(3x)) \end{eqnarray*}$

also zunächst mal,ich bin mir nich sicher ob die ableitung so stimmt,hab es aber paar mal überprüft und immer das selbe rausbekommen.

auf jedenfall solln wir da jetz die ns bestimmen.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2} ((-ln(3x))^2+2\cdot ln(3x))=0| \cdot x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ((-ln(3x))^2+2\cdot ln(3x))=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ((-ln(3x))^2=((ln(3x))^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ((ln(3x))^2+2\cdot ln(3x))=0| e^{()} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow e^{ln(3x)}\cdot e^{ln(3x)}+ e^{ln(3x)} + e^{ln(3x)} =1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (3x)^2+6x =1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 9x^2+6x -1=0| :9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+ \frac{2}{3} - \frac{1}{9} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}= - \frac{1}{3}\pm \sqrt{\frac{2}{9} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}= - \frac{1}{3}\pm \sqrt{\frac{2}{9} } \end{eqnarray*}$

kann das ansatzweise richtig sein??,probe mit dem tr lässt schlimmes vermuten

11.06.2010, 00:12

Pavel

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RE: ableitung und nullstellen...
Zum Überprüfen einer Ableitung eignet sich Wolfram Alpha sehr gut:
Link zu Wolfram mit der richtigen Ableitung

Erkennst du nun, wo dein erster Fehler liegt?

11.06.2010, 00:20

analysisisthedevil

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RE: ableitung und nullstellen...

Zitat:

Original von Pavel
Zum Überprüfen einer Ableitung eignet sich Wolfram Alpha sehr gut:
Link zu Wolfram mit der richtigen Ableitung

Erkennst du nun, wo dein Fehler liegt?

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{x^2} ((ln(3x))^2\cdot(-1)+2\cdot ln(3x)) \end{eqnarray*}$

11.06.2010, 00:26

Pavel

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RE: ableitung und nullstellen...

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{x^2} ((ln(3x))^2\cdot(-1)+2\cdot ln(3x)) \end{eqnarray*}$

Jep, so ist es nun richtig.
Den Rest musst du dann wohl noch mal überarbeiten.

11.06.2010, 00:27

analysisisthedevil

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RE: ableitung und nullstellen...

Zitat:

Original von Pavel

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{x^2} ((ln(3x))^2\cdot(-1)+2\cdot ln(3x)) \end{eqnarray*}$

Jep, so ist es nun richtig.
Den Rest musst du dann wohl noch mal überarbeiten.

jop,bin grad dabei,poste es gleich

11.06.2010, 00:43

analysisisthedevil

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RE: ableitung und nullstellen...

Zitat:

Original von analysisisthedevil

Zitat:

Original von Pavel
Zum Überprüfen einer Ableitung eignet sich Wolfram Alpha sehr gut:
Link zu Wolfram mit der richtigen Ableitung

Erkennst du nun, wo dein Fehler liegt?

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{x^2} ((ln(3x))^2\cdot(-1)+2\cdot ln(3x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{1}{x^2} ((ln(3x))^2\cdot(-1)+2\cdot ln(3x))| \cdot x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0= -(ln(3x))^2+2\cdot ln(3x)| \cdot -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0= (ln(3x))^2-2\cdot ln(3x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0= ln(3x)\cdot ln(3x)-ln(3x)-ln(3x)| e^{()} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{0}= e^{ln(3x)}\cdot e^{ln(3x)}-e^{ln(3x)}-e^{ln(3x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0= 9x^2-6x-1| :9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=x^2-\frac{2}{3} x-\frac{1}{9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \pm \sqrt{\frac{2}{9} } \end{eqnarray*}$

taschenrechner sagt aber wieder schlechtes

11.06.2010, 00:52

Pavel

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RE: ableitung und nullstellen...

Zitat:

taschenrechner sagt aber wieder schlechtes

Kann ich mir vorstellen. :P

Erklär mir nämlich bitte mal deine folgende Umformung:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 0= ln(3x)\cdot ln(3x)-ln(3x)-ln(3x)| e^{()} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{0}= e^{ln(3x)}\cdot e^{ln(3x)}-e^{ln(3x)}-e^{ln(3x)} \end{eqnarray*}$

Wenn ich deine Operation durchführe, erhalte ich

$\begin{eqnarray*} e^0 = e^{ln(3x)\cdot ln(3x)-ln(3x)-ln(3x)} \end{eqnarray*}$

und das ist leider beim besten Willen nicht das selbe wie bei dir.
(Potenzgesetze beachten!)

Deine Operation ist also hier nicht zielführend.
Geh mal anders ran. Betrachte deine Gleichung

$\begin{eqnarray*} 0= (ln(3x))^2-2\cdot ln(3x) \end{eqnarray*}$

etwas genauer und überlege, was man da sonst noch so mit anstellen könnte, außer die Exponentialfunktion drauf loszulassen (was ja, wie gesehen, auch nicht viel bringt).

11.06.2010, 00:56

analysisisthedevil

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RE: ableitung und nullstellen...

Zitat:

Original von Pavel

Zitat:

taschenrechner sagt aber wieder schlechtes

Kann ich mir vorstellen. :P

Erklär mir nämlich bitte mal deine folgende Umformung:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 0= ln(3x)\cdot ln(3x)-ln(3x)-ln(3x)| e^{()} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{0}= e^{ln(3x)}\cdot e^{ln(3x)}-e^{ln(3x)}-e^{ln(3x)} \end{eqnarray*}$

Wenn ich deine Operation durchführe, erhalte ich

$\begin{eqnarray*} e^0 = e^{ln(3x)\cdot ln(3x)-ln(3x)-ln(3x)} \end{eqnarray*}$

und das ist leider beim besten Willen nicht das selbe wie bei dir.
(Potenzgesetze beachten!)

Deine Operation ist also hier nicht zielführend.
Geh mal anders ran. Betrachte deine Gleichung

$\begin{eqnarray*} 0= (ln(3x))^2-2\cdot ln(3x) \end{eqnarray*}$

mal etwas genauer und überlege, was man da sonst noch so mit anstellen könnte, außer die Exponentialfunktion drauf loszulassen (was ja, wie gesehen, auch net viel bringt).

ooh gott,kanns nich einfach mal ne nummer leichter sein...also ich hab keine ahnung was ich da anstellen kann....

11.06.2010, 00:59

Pavel

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RE: ableitung und nullstellen...

Zitat:

ooh gott,kanns nich einfach mal ne nummer leichter sein...also ich hab keine ahnung was ich da anstellen kann....

Na gut, wenn du es bei der Gleichung

$\begin{eqnarray*} 0 = (\ln(3x))^2 - 2 \cdot \ln(3x) \end{eqnarray*}$

noch nicht direkt siehst, dann führe einfach mal eine Substitution mit

$\begin{eqnarray*} z := \ln(3x) \end{eqnarray*}$

durch. Dann sollte der Rest klar sein. Augenzwinkern

11.06.2010, 01:07

analysisisthedevil

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RE: ableitung und nullstellen...

Zitat:

Original von Pavel

Zitat:

ooh gott,kanns nich einfach mal ne nummer leichter sein...also ich hab keine ahnung was ich da anstellen kann....

Hab es doch zammenbekommen!! Freude

$\begin{eqnarray*} (ln(3x))^2-2ln(3x)=0| +2ln(3x) | :ln(3x)| e^{()} \end{eqnarray*}$

(keine ahnung ,ob man das so schreiben darf^^)

$\begin{eqnarray*} 3x=e^2 \Rightarrow x=\frac{e^2}{3} \end{eqnarray*}$

11.06.2010, 01:12

Pavel

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RE: ableitung und nullstellen...

Zitat:

Hab es doch zammenbekommen!! Freude

$\begin{eqnarray*} (\ln(3x))^2-2\ln(3x)=0| +2\ln(3x) | :\ln(3x)| e^{()} \end{eqnarray*}$

(keine ahnung ,ob man das so schreiben darf^^)

$\begin{eqnarray*} 3x=e^2 \Rightarrow x=\frac{e^2}{3} \end{eqnarray*}$

Das ist aber nur eine der Nullstellen, es gibt nämlich zwei!
Als du durch ln(3x) geteilt hast, ist dir die zweite verschütt gegangen.
(der natürliche Logarithmus kann den Wert Null annehmen und durch Null darf/kann wie bekanntlich nicht geteilt werden)

Klammere also lieber aus:

$\begin{eqnarray*} (\ln(3x))^2-2 \ln(3x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln(3x)\cdot (\ln(3x)-2) = 0 \end{eqnarray*}$

und benutze nun den Satz vom Nullprodukt.
(edit: Ein Produkt ist genau dann Null, wenn...)

11.06.2010, 01:20

analysisisthedevil

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RE: ableitung und nullstellen...

Zitat:

Original von Pavel

Das ist aber nur eine der Nullstellen, es gibt nämlich zwei!
Als du durch ln(3x) geteilt hast, ist dir die zweite verschütt gegangen.
(der natürliche Logarithmus kann den Wert Null annehmen und durch Null darf/kann wie bekanntlich nicht geteilt werden)

Klammere also lieber aus:

$\begin{eqnarray*} (\ln(3x))^2-2 \ln(3x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln(3x)\cdot (\ln(3x)-2) = 0 \end{eqnarray*}$

und benutze nun den Satz vom Nullprodukt.
(edit: Ein Produkt ist genau dann Null, wenn...)

$\begin{eqnarray*} \ln(3x)\cdot (\ln(3x)-2) = 0 \end{eqnarray*}$

wenn
$\begin{eqnarray*} ln(3x)=0 \end{eqnarray*}$ oder

$\begin{eqnarray*} ln(3x)-2) = 0 \end{eqnarray*}$

d.h.

$\begin{eqnarray*} x_{1}=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{2}=\frac{e^0}{3} \end{eqnarray*}$

11.06.2010, 01:26

Pavel

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RE: ableitung und nullstellen...

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \ln(3x)\cdot (\ln(3x)-2) = 0 \end{eqnarray*}$

wenn
$\begin{eqnarray*} ln(3x)=0 \end{eqnarray*}$ oder

$\begin{eqnarray*} ln(3x)-2 = 0 \end{eqnarray*}$

d.h.

$\begin{eqnarray*} x_{1}=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{2}=\frac{e^0}{3} \end{eqnarray*}$

Ich schätze, du hast dich einfach vertippt und meintest
$\begin{eqnarray*} x_{2}=\frac{e^2}{3} \end{eqnarray*}$
Hattest das ja eben richtig. Dann ists perfekt! Freude

Wenn du dir noch mal den Link zu Wolfram aus meinem ersten Post anschaust, dann siehst du dort auch unter dem Abschnitt "Roots" (Englisch für Nullstellen), dass du das richtige Ergebnis hast!

11.06.2010, 01:52

analysisisthedevil

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RE: ableitung und nullstellen...

Zitat:

Original von Pavel

Zitat:

Ich schätze, du hast dich einfach vertippt und meintest
$\begin{eqnarray*} x_{2}=\frac{e^2}{3} \end{eqnarray*}$
Hattest das ja eben richtig. Dann ists perfekt! Freude

Wenn du dir noch mal den Link zu Wolfram aus meinem ersten Post anschaust, dann siehst du dort auch unter dem Abschnitt "Roots" (Englisch für Nullstellen), dass du das richtige Ergebnis hast!

danke für die hilfe,mach ich.

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