Kondition eines Nullstellenproblems

01.11.2006, 17:10

20_Cent

Kondition eines Nullstellenproblems

Hallo, ich hab hier folgende Aufgabe:

Zitat:

Es sei eine ganze Zahl $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ gegeben und gefragt ist, wie sich Störungen in dem Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ auf die positive Nullstelle des Polynoms $\begin{eqnarray*} p(x)=x^n+x^{n-1}-a \end{eqnarray*}$ auswirken. Zeige zunächst , dass genau eine positive Nullstelle existieren muss. Diese Nullstelle sei in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \xi (a) \end{eqnarray*}$ bezeichnet. Zeige unter der Annahme, dass $\begin{eqnarray*} \xi (a) \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist, dass die Konition dieses Nullstelleproblems durch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n-1} \end{eqnarray*}$ beschränkt ist.

Ich habe versucht mit Induktion zu beweisen, dass genau eine positive Nullstelle ex. muss, für n=2 ist es einfach. Leider komme ich da nicht weiter.
Für den zweiten Teil hab ich auch keine Idee, wäre möglich, dass man den ersten dafür benutzen muss.

Ich bin für jeden Ansatz dankbar,

mfG 20

01.11.2006, 17:16

tigerbine

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RE: Kondition eines Nullstellenproblems
Kannst du für die Nullstelle den Zwischenwertsatz benutzen?

p(0) = -a also negativ wegen a > 0 ... suche p(y) > 0 mit y > 0

01.11.2006, 17:19

20_Cent

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danke, das ist schonmal gut, ich probiers mal.
mfG 20

01.11.2006, 17:31

20_Cent

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für x>0 ist die funktion streng monoton steigend, der grenzwert gegen unendlich ist unendlich, also muss es wegen dem zwischenwertsatz genau eine positive Nullstelle geben.
Ich hatte mal wieder ein Brett vorm Kopf.

Jetzt zur Kondition. Kann ich das $\begin{eqnarray*} \xi (a) \end{eqnarray*}$ konkret angeben? ich denke nicht...
Was ist eigentlich mit der Kondition des Nullstellenproblems gemeint?

danke schonmal.
mfg 20

01.11.2006, 17:41

tigerbine

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Zum zweiten Teil. Ich hänge selbst gerade über der "genauen" Definition der Kondition im allgemeinen und speziellen. Aber neues Buch - neue Meinung unglücklich

Ganz grob läßt sich aber unter der Kondition "des Nullstellenproblems" denke ich verstehen:

wie wird der relative Fehler des Inputs a Verstärkt. Also

rel Fehler output ( = Nullstelle) $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ Verstärkungsfaktor * rel. Fehler Input ( = a)

01.11.2006, 17:42

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Du kannst $\begin{eqnarray*} f(x,a) = x^n+x^{n-1}-a \end{eqnarray*}$ als Funktion mit zwei Variablen betrachten. In dem Sinne gilt dann $\begin{eqnarray*} f(\xi(a),a)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ . Und dann Implizite Differentiation, dann kriegst du erstmal die Ableitung $\begin{eqnarray*} \xi'(a) \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \xi(a) \end{eqnarray*}$ , vielleicht hilft dir das weiter...

01.11.2006, 17:54

20_Cent

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Das heißt also ich erhalte $\begin{eqnarray*} \xi' (a) = \frac{1}{n\cdot \xi (a)^{n-1}+(n-1)\cdot \xi (a)^{n-2}} \end{eqnarray*}$ , stimmt das?

Kann ich jetzt damit die Kondition von $\begin{eqnarray*} \xi (a) \end{eqnarray*}$ ausrechnen? also einfach mit $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ multiplizieren und durch $\begin{eqnarray*} \xi (a) \end{eqnarray*}$ teilen, und das wars? aber wie kommt dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n-1} \end{eqnarray*}$ raus?

mfg 20

01.11.2006, 18:19

mathemaduenn

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Hallo 20_cent,
Meine Idee wäre die Nst. einzusetzen.
viele Grüße
mathemaduenn

01.11.2006, 18:26

20_Cent

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du meinst $\begin{eqnarray*} \xi (a) \end{eqnarray*}$ für x einsetzen?
Aber dann kann ich ja nicht nach $\begin{eqnarray*} \xi (a) \end{eqnarray*}$ auflösen, was bringt mir das denn dann?
mfG 20

01.11.2006, 18:42

mathemaduenn

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Hallo nochmal,
Ich meinte $\begin{eqnarray*} \xi (a)^{n}+\cdot \xi (a)^{n-1}-a=0 \end{eqnarray*}$ verwenden um die vielen hoch n wegzubekommen. Eventuell vorher geschickt abschätzen.
grüße
mathemaduenn

01.11.2006, 19:05

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Da kann ich nur zustimmen - einfach $\begin{eqnarray*} \xi (a)^{n-1} = a-\xi (a)^n \end{eqnarray*}$ rechts unten in

$\begin{eqnarray*} \frac{a\xi' (a)}{\xi(a)} = \frac{a}{n\cdot \xi (a)^n+(n-1)\cdot \xi (a)^{n-1}} \end{eqnarray*}$

eingesetzt kommt man sehr schnell zum gewünschten Resultat.

01.11.2006, 19:26

20_Cent

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ich habs jetzt hinbekommen, danke.
mfG 20

23.10.2009, 22:50

Urr.4

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Hey. Hab die Aufgabe auch mal versucht.
Ich verstehe aber grade nicht wirklich, wohin das $\begin{eqnarray*} \xi(a)^n \end{eqnarray*}$ , nach dem
Einsetzen am Ende verschwunden ist.
Ich bekomme da $\begin{eqnarray*} \frac{a\xi'(a)}{\xi(a)} = \frac{a}{an-a+\xi(a)^n} \end{eqnarray*}$ , was natürlich schon echt schön aussieht, wenn das verdammte $\begin{eqnarray*} \xi(a)^n \end{eqnarray*}$ nicht wäre. verwirrt

MfG
Urr.4

25.10.2009, 21:06

Baumgott

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da es sich um eine positive nullstelle handelt kann man abschätzen und es einfach weglassen.

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