Integral: Wurzel (2-x²)

11.06.2010, 09:20

Physinetz

Integral: Wurzel (2-x²)

Hallo, ich suche das Integral von $\begin{eqnarray*} \int \sqrt{2-x²} \end{eqnarray*}$

Habe dazu substituiert: $\begin{eqnarray*} x=sin(t)*\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Führt mich schließlich auf:

$\begin{eqnarray*} \int \sqrt{2} * \sqrt{1-sin²(t)} *cos(t)*\sqrt{2} dt \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} 1-sin²(t)=cos²(t) \end{eqnarray*}$ dann:

$\begin{eqnarray*} \int 2*cos²(t) dt \end{eqnarray*}$ falls ich mich nicht irre...

Nun Integration: $\begin{eqnarray*} 2*\left[\frac{sin(t)*cos(t)*t}{2} \right] \end{eqnarray*}$ (**)

und Resubstitution mit:
$\begin{eqnarray*} x=sin(t)*\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ -- > $\begin{eqnarray*} t= arcsin(\frac{x}{\sqrt{2} } ) \end{eqnarray*}$

Und nun eingesetzt in (**) ergibt:

$\begin{eqnarray*} [\frac{x}{\sqrt{2} } *cos(arcsin(\frac{x}{\sqrt{2} }))+\frac{x}{\sqrt{2} }] \end{eqnarray*}$

a) Hmm aber irgendwo muss ein Fehler sein, weiß jemand vielleicht wo?

b) Hat jemand eine Idee für die Integration von $\begin{eqnarray*} \int \sqrt{x*\sqrt{x*\sqrt{x} } } dx \end{eqnarray*}$

Sollte ja auch mit einer Substitution funktionieren?

Gruß und Danke für jegliche Hilfe Willkommen

11.06.2010, 09:27

klarsoweit

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RE: Integral: Wurzel (2-x²)

Zitat:

Original von Physinetz
Nun Integration: $\begin{eqnarray*} 2*\left[\frac{sin(t)*cos(t)*t}{2} \right] \end{eqnarray*}$ (**)

Leite das mal ab. Kommt der ursprüngliche Integrand heraus?

Zitat:

Original von Physinetz
Sollte ja auch mit einer Substitution funktionieren?

Nöö. Schreibe den Integranden als x hoch "geeigneter Exponent". Augenzwinkern

11.06.2010, 10:12

Physinetz

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also zu a)

hatte mich da iwie vertippt, hier nochmal ausführlich, vielleicht so:

$\begin{eqnarray*} \int cos²(t)= [sin(t)*cos(t)]+\int sin²(t)=[sin(t)*cos(t)] + \int 1-cos²(t)= [sin(t)*cos(t)] + [t]-\int cos²(t) \end{eqnarray*}$

Nun bringe ich $\begin{eqnarray*} -\int cos²(t) \end{eqnarray*}$ auf die andere Seite:

$\begin{eqnarray*} 2* \int cos²(t) = [sin(t)*cos(t)] + [t] = [sin(t)*cos(t) + t ] \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} \int cos²(t)= [\frac{sin(t)*cos(t) + t }{2}] \end{eqnarray*}$

Folglich:

$\begin{eqnarray*} \int 2*cos²(t) dt= [\frac{sin(t)*cos(t) + t }{2}] *2 = [sin(t)*cos(t) + t] \end{eqnarray*}$

So dürfte es dann aber stimmen?

Und nun resubstituieren wäre wie ich vorhin geschrieben habe:

$\begin{eqnarray*} [\frac{x}{\sqrt{2} } *cos(arcsin(\frac{x}{\sqrt{2} }))+\frac{x}{\sqrt{2} }] \end{eqnarray*}$

Aber nach der Resubstitution stimmt mein Ergebnis nicht mehr überein, zumindest laut Wolfram Alpha kommt da kein $\begin{eqnarray*} \int \sqrt{2-x²} \end{eqnarray*}$ heraus wenn ich es ableite...

Wo hakts denn?

11.06.2010, 10:45

Mulder

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Deine Rücksubstitution ist auch in die Hose gegangen. Wenn

$\begin{eqnarray*} x= \sqrt 2 \sin(t) \end{eqnarray*}$

ist, was ist dann t?

sin(t)*cos(t) ist richtig rücksubstituiert, aber am Ende das +t, da schau noch mal hin...

PS: cos(arcsin(x)) kann man noch vereinfachen.

11.06.2010, 10:52

klarsoweit

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Um den Tipp von Mulder zu ergänzen:
Drücke vor der Rücksubstitution das cos(t) durch sin(t) aus.

11.06.2010, 11:01

Kühlkiste

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Hier könnte man übrigens auch mal über partielle Integration nachdenken?

Damit bekommt man zunächst:

$\begin{eqnarray*} \int\sqrt{2-x^2}~\dd x=x\sqrt{2-x^2}+\int\frac{x^2}{\sqrt{2-x^2}}~\dd x.<br /> \end{eqnarray*}$

Daraus folgt nach einer kleinen Umformung:

$\begin{eqnarray*} \int\sqrt{2-x^2}~\dd x=\frac x2 \sqrt{2-x^2}+\int\frac 1{\sqrt{2-x^2}}~\dd x \end{eqnarray*}$

Und damit sollt sich doch was machen lassen...

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