Jordan Normalform berechnen

11.06.2010, 09:25	Icewind	Auf diesen Beitrag antworten »
Jordan Normalform berechnen von der Matrix $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 5 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ char. Polynom ist $\begin{eqnarray} P_{A}(t)=(3-t)^4(5-t), \lambda_1=3, \lambda_2=5 \end{eqnarray}$ Die Gleichung für die Jordanmatrix ist $\begin{eqnarray} J=TAT^{-1} \end{eqnarray}$ , wobei in $\begin{eqnarray} T^{-1} \end{eqnarray}$ die Eigen- und Hauptvektoren von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ stehen. Vektoren bitte alle als Spaltenvektoren auffassen: Eigenvektoren zum Eigenwert 3 $\begin{eqnarray} v_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_2=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Eigenvektoren zum Eigenwert 5 $\begin{eqnarray} v_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann Hauptvektoren mit $\begin{eqnarray} ker(A-\lambda E)v_{p}=v_{p-1} \end{eqnarray}$ ausrechnen (ist es ein Problem, dass ich die Indizes der Vektoren mal durcheinander gewählt hab?). Also Eigenwert 3 verwenden und mal für $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_2 \end{eqnarray}$ probiert. Für $\begin{eqnarray} v_2 \end{eqnarray}$ lässt sich die Matrix nicht lösen. Hab also von $\begin{eqnarray} ker(A-3E)v_4=v_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_4=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 2 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und aus $\begin{eqnarray} ker(A-3E)v_5=v_4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_5=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Nun einige Fragen: 1) kann ich in meiner Transformationsmatrix $\begin{eqnarray} T^{-1} \end{eqnarray}$ die Eigen- und Hauptvektoren beliebig anordnen? Bei manchen Anordnungen ist sie nämlich nicht invertierbar. 2) sollte meine Matrix $\begin{eqnarray} (A-3E)^{\alpha} \end{eqnarray}$ nicht nilpotent sein, also 0 für $\begin{eqnarray} \alpha=4 \end{eqnarray}$ ? 3) stimmt meine Vorgehensweise (bzw. was stimmt nicht, weil ich keine Jordanform rausbekomme)
11.06.2010, 10:14	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jordan Normalform berechnen Hi Icewind, Zu 1): Durch die Anordnung der Spalten/Zeilen ändert sich die Invertierbarkeit nicht. Es ist trotzdem nicht egal, in welcher Reihenfolge die Vektoren stehen, wenn Du die Matrix in JNF überführen willst. Zu jedem Jordankästchen gehört nämlich ein Eigenvektor und die zugehörigen Hauptvektoren. Eine richtige Reihenfolge wäre also: $\begin{eqnarray} v_1,v_4,v_5,v_2,v_3 \end{eqnarray}$ Zu 2): Nein. Schau Dir zum Beispiel die entsprechende JNF an. Da hast Du auf der Diagonalen dann noch eine 2 stehen und die bekommst Du nie weg. $\begin{eqnarray} (A-3E)^4=0 \end{eqnarray}$ würde bedeuten, dass 3 der einzige Eigenwert ist. Zu 3): Sieht sonst alles richtig aus. Gruß, Reksilat.
12.06.2010, 10:09	Icewind	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für die schnelle antwort, reksilat, hab die normalform mit deiner anordnung der Vektoren $\begin{eqnarray} v_1,v_4,v_5,v_2,v_3 \end{eqnarray}$ herausgefunden. Jetzt würd ich nur noch gerne wissen, wieso die so angeordnet gehören
12.06.2010, 15:54	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist doch: $\begin{eqnarray} Av_1=3v_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Av_4=3v_4+v_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Av_5=3v_5+v_4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Av_2=3v_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Av_3=5v_3 \end{eqnarray}$ Damit hat die Matrix dann die gewünschte Form. Zu jedem Jordankästchen gehört eben ein Eigenvektor und die zugehörigen Hauptvekoren. Die muss man dann eben auch gleich dahinter schreiben, damit man das Jordankästchen nicht über die ganze Matrix zerpflückt. Gruß, Reksilat.
13.06.2010, 23:09	Icewind	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also wenn ich dich richtig verstehe: ich habe mit $\begin{eqnarray} T^{-1}=v_1,v_4,v_5,v_2,v_3 \end{eqnarray}$ wie gesagt die Matrix $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ erhaltn, was mit $\begin{eqnarray} Av_1=3v_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Av_4=3v_4+v_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Av_5=3v_5+v_4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Av_2=3v_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Av_3=5v_3 \end{eqnarray}$ übereinstimmt. wenn ich das richtig verstanden hab ist es nur wichtig, die Hauptvektoren mit ihren Eigenvektoren nacheinanderzuschreiben, Frage 1) also $\begin{eqnarray} v_1,v_4,v_5 \end{eqnarray}$ müssen auf jeden fall so beisammenstehen Frage 2) Kontrollfrage: Hätt ich dann mit ner Anordnung: $\begin{eqnarray} T^{-1}=v_2,v_3,v_1,v_4,v_5 \end{eqnarray}$ die Matrix $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ erhaltn? Frage 3) Ist die Jordannormalform also nicht eindeutig?
14.06.2010, 09:05	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu Frage 1): Ja. Zu Frage 2): Ja. Zu Frage 3): Richtig. Wenn man sich nicht irgendwie darauf festlegt, die Eigenwerte und Jordankästchen der Größe nach zu ordnen, so ist die JNF nicht eindeutig. Manche schreiben sie auch als untere Dreiecksmatrix - dazu muss man dann die Reihenfolge der Vektoren umdrehen. Mit $\begin{eqnarray} v_5,v_4,v_1,v_2,v_3 \end{eqnarray}$ erhält man: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Gruß, Reksilat.
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