Geschlossene Form für Potenzreihe

11.06.2010, 10:34

Physinetz

Geschlossene Form für Potenzreihe

Hallo,

habe noch eine Aufgabe zur geschlossenen Form einer Potenzreihe zu finden:

$\begin{eqnarray*} x+\frac{x³}{3} + \frac{x^5}{5} + ... \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} x+\frac{x³}{3} + \frac{x^5}{5} + ...= \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^{(2k+1)}}{(2k+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(x)= \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^{(2k+1)}}{(2k+1)} \end{eqnarray*}$

Integrieren:

$\begin{eqnarray*} \int P(x)dx= \int \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^{(2k+1)}}{(2k+1)}dx = [\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^{(2k+2)}}{(2k+1)*(2k+2)} ] \end{eqnarray*}$

1.Nun muss ich doch das einfach wieder differenzieren oder?
2.Wieso sucht man eigentlich nach einer geschlossenen Form immer nur im inneren eines Konvergenzkreises?

Ja das sind die Fragen die mich bewegen ;-)

Gruß und merci

11.06.2010, 10:55

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Physinetz
1.Nun muss ich doch das einfach wieder differenzieren oder?

"Muss" nicht, aber es ist ein passender Weg, um die geschlossene Form zu finden.

Zitat:

Original von Physinetz
2.Wieso sucht man eigentlich nach einer geschlossenen Form immer nur im inneren eines Konvergenzkreises?i

Wo sonst? Ok, auf dem Rand kann es auch noch Sinn machen. Aber außerhalb ist die Reihe divergent, da gibt es nichts anzugeben.

11.06.2010, 14:53

Physinetz

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

1.Nun muss ich doch das einfach wieder differenzieren oder?

1.Wenn ich das einfach wieder differenziere, kommt doch exakt wieder das gleiche heraus? Wenn dem nicht so ist, wie würde ich dann das differenzieren?

2. Also das die Reihe außerhalb divergiert ist mir klar. Aber untersucht man nur im Bereich wo die Reihe konvergiert?
Ergibt sich dann eine Funktion wenn die Reihe konvergiert oder was hat es damit auf sich? steige da nicht ganz durch wieso man das nur untersucht für Konvergenz

11.06.2010, 15:15

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du die Originalreihe differenzierst, bekommst du doch eine bekannte Reihe, deren Wert du unmittelbar angeben kannst. Und durch Integration des Ausdrucks findest du dann, was du suchst. Die Integrationskonstante ist passend zu bestimmen.

11.06.2010, 17:38

Physinetz

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm stimmt, dann habe ich differenziert:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty x^{2k} \end{eqnarray*}$

1) Wäre ja ein Abkömling der geometrischen Reihe... der 2er stört ein wenig, ansonsten wäre es für Betrag von x<1 eben 1/1-x als Reihe ...was mache ich mit dem 2er?

Zitat:

2. Also das die Reihe außerhalb divergiert ist mir klar. Aber untersucht man nur im Bereich wo die Reihe konvergiert? Ergibt sich dann eine Funktion wenn die Reihe konvergiert oder was hat es damit auf sich? steige da nicht ganz durch wieso man das nur untersucht für Konvergenz

2) Brauch man den Konvergenzradius um praktisch jetzt zu sehn, dass für x<1 es sich um die geometrische Reihe mit der Form: 1/1-x handelt ?

Oder warum kann man sowas nicht außerhalb des Kreises untersuchen? Bitte noch auf Punkt 2 eingehen. Danke

11.06.2010, 17:59

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 1) Es wird zu wenig an die Potenzgesetze gedacht, hab ich schon sehr oft hier im Board gemerkt: $\begin{eqnarray*} x^{2k} = (x^2)^k \end{eqnarray*}$

12.06.2010, 11:28

Physinetz

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok habs verstanden...Dankeschön

Ich frag aber trotzdem noch zum 3.Mal, in der Hoffnung jemand hilft mir:

Zitat:

Findet man für Betrag x>1 z.B. keinen Grenzwert der Reihe, sodass die Rechnung nicht funktioniert?Oder was ist der Hintergrund vom Konvergenzkreis hier?

12.06.2010, 11:52

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Physinetz
Findet man für Betrag x>1 z.B. keinen Grenzwert der Reihe, sodass die Rechnung nicht funktioniert?

Ich verstehe die Frage nicht ganz, denn du sagst doch selbst

Zitat:

Original von Physinetz
Also das die Reihe außerhalb divergiert ist mir klar.

Nehme zb die geometrische Reihe, dann hat diese den Konvergenzradius 1 und daher konvergiert die Reihe für $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ und also kann man sagen, dass für $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ die geometrische Reihe gegen die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ konvergiert [oder diese Darstellt] und für solche $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ kann man schreiben
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}x^k \end{eqnarray*}$ .

Was zb. für $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ ? Hier wäre
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty}1^k=\sum\limits_{k=0}^{\infty}1=\infty \end{eqnarray*}$ .

Was sollte man dann für $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ haben? Vielleicht $\begin{eqnarray*} f(1)=\infty \end{eqnarray*}$ ?

Aber man will doch eigentlich eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ haben, hier wäre damit zb $\begin{eqnarray*} f(1)=\infty \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} \infty\notin\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

12.06.2010, 12:13

Physinetz

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja gut dann passts, der Satz war für mich wichtig:

Zitat:

dass für $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ die geometrische Reihe gegen die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ konvergiert

Danke!

Neue Frage »

Antworten »

Geschlossene Form für Potenzreihe

Verwandte Themen