Symmetrie Definitheit |
| 11.06.2010, 11:06 | disthymya | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Symmetrie Definitheit Hey, ich steh vor einer Herausforderung.. 
wahrsch ist es nicht allzu schwer, aber ich steh total auf dem schlauch
beweise oder widerlege: sind A,B aus R^nxn symmetrisch und negativ definit, so ist AB symmetrisch und positiv definit. sind A aus R^nxn symmetrisch und negativ definit, so ist A^2 symm. und pos. def.. sind A,B aus R^nxn nilpotent mit [A,B]=0, so ist auch A+B nilpotent. Meine Ideen: ich vermute, dass man das irgendwie über die jordan-formel machen muss, aber leider komm ich mit der nich klar.. ne hilfestellung ohne vollständige lösung wär toll, eigentlich möcht ich nämlich selbst draufkommen 
danke im vorraus! |
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| 11.06.2010, 11:18 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Frage 2 Ich nehme mir mal eine raus.
1. Schreib hin, was symmetrisch bedeutet. Prüfe, ob das auch für A² gilt 2. Es gibt einen Satz der Symmetrie, Definitheit, und Eigenwerte in Bezug stellt. 3. Schreib mal die Defintion der Definitheit hin. Dann teste A. 4. Es gibt einen wichtigen Satz, welche 2 Matrizen man zu symmetrischen Matrizen findet, so dass ..... Ein Link: http://www.mia.uni-saarland.de/Teaching/MFI07/kap46.pdf So, das wären mal meine Tipps. 
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| 11.06.2010, 13:13 | disthymya | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Frage 2 danke erstmal für deine hilfe 
also, punkt 1 ist so halb erledigt.. ich hab.. A ist symm, wenn gilt: AX=yX, X ungleich 0. ist das der richtige ansatz? also für A ist das leicht, das stimmt weil im text steht dass A symm. ist. für A^2 gilts auch.. zeigen durch induktion? oder ist daszuviel aufwand? so, dann punkt 2. der satz, der die drei sachen zusammenbringt.. ich hab 3 teilsätze gefunden. (lineare algebra repetitorium, band 2) 1. pA (was ist eigentlich pA?!) zerfällt in reele Linearfaktoren, dh insbesondere A besitzt nur reele Eigenwerte. 2. eigvektoren zu versch eig.werten stehen senkrecht aufeinander. 3. es gibt einen basis des R^n, die aus eig.vektoren von A besteht.. nur weiß ich nichso recht, was ich damit anfangen soll :/ punkt 3.. pos def wenn x^T A x größer 0 was mach ich mit x^T? ist das vl nützlich..? x^t A x = (xA)^t x = x^t A^t x = x^t A x (weil reel und symm) = x^t (Ax) = x^t A x hm... :/ |
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| 11.06.2010, 13:15 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Frage 2 1. Hä? kann ich da erst mal nur sagen (bitte latex nehmen) Was ist X, was y? 
Aber das ist doch einfach nur . |
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| 13.06.2010, 08:29 | disthymya | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Frage 2 ooouh..
ok.also, dann gilts für A weil im text steht dass es symmetrisch ist. für A²: A² = A x A = A^T x A^T = A^2T ? |
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| 13.06.2010, 12:52 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Frage 2 Du musst nur nachrechnen. Mit den entsprechenden Rechenregeln. (Hier sieht man das Vertauschen nicht! *) Also symmetrisch. negativ definit heißt, dass für alle x außer 0 gilt nun hatte ich dir schon den Tipp gegeben, dir den äquivalenten Satz mit den Eigenwerten zu suchen. Dann ist das sehr einfach. |
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| 13.06.2010, 20:11 | disthymya | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Frage 2 okay, vielen vielen Dank für Deine Gedult 
dann hab ich noch ne andere Frage... ^^ beweisen oder widerlegen Sie: SEi A aus R^nxn, bei der die Zeilensummen, dh die Summe der Einträge einer jeden Zeile, gleich sind. Dann besitzt A mindestens einen reellen Eigenwert. Meine Lösung: die Zeilensummen sind ja alle gleich, also sag ich die sind gleich z. es seiA=(a ij). dann gilt: (große klammer auf: a11 + a12 + a13+ ... + a1n große klammer zu) = ... an1 + an2 + an3+ ...+ann (große klammer auf: z große klammer zu) = ... z z (große klammer auf: 1 große klammer zu) ... 1 da alle Zeilensummen von A gleich z sind. Damit ist x=(1,...,1) ein Eigenvektor von A zum Eigenwert z. --> A besitzt also mindestens einen rellen Eigenwert. fertig ^^ |
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| 13.06.2010, 20:14 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Frage 2 Bitte latex benutzen.
Wenna lle Zeiensummen gleich sind. Dann gibt es einen tollen einfachen Vektor, mit dem ich die Matrix multiplizieren kann. Dann steht in jedem Eintrag des Bildvektors die gleiche Zahl. Ich denke den meinst du mit x=(1,...,1)^T zum EW z. |
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| 13.06.2010, 22:22 | disthymya | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Frage 2 danke
(jetz hab ich's auch mit latex gecheckt
) |
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| 13.06.2010, 22:27 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Frage 2 Bitte.
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