minimaler Flächeninhalt, Koordinatenachse, dreieck
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11.06.2010, 13:09 Anna86 Auf diesen Beitrag antworten »
minimaler Flächeninhalt, Koordinatenachse, dreieck
Meine Frage:
Hallo! Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter, ich hoffe, ihr könnt mir helfen:
Im ersten Quadranten eines kartesischen Koordinatensystems liege ein Punkt P mit den Koordinaten (x0, y0). Durch diesen Punkt laufe eine Gerade mit negativer Steigung. Welchen Wert muss die Steigung haben, damit das Dreieck, das die Gerade mit den Koordinatenachsen bildet, minimalen Flächeninhalt hat?


Meine Ideen:
Mein Ansatz:

Gleichung der Gerade:
f(x)= -ax+ b

einsetzen der Punkte in die Gleichung:
y0= a*x0 + b

b= y0 - a*x0

b= Grundseite des Dreiecks (g)


f(x0)= a*x0+ x0-y0= 0

x0= (y0*a -x0)/a

x0= Höhe des Dreicks (h)



A= 1/2 * g * h

A= 1/2 * (y0 - a*x0)* ((y0*a -x0)/a)


Aber wie kann ich diese Aufgabe lösen, wenn der Punkt P nicht gegeben ist??
11.06.2010, 13:45 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: minimaler Flächeninhalt, Koordinatenachse, dreieck
Zitat:
Original von Anna86
einsetzen der Punkte in die Gleichung:
y0= a*x0 + b

Du mußt dich schon einigen, ob f(x)= ax+ b oder f(x)= -ax+ b sein soll.

Zitat:
Original von Anna86
f(x0)= a*x0+ x0-y0= 0

Was soll das bedeuten? Es ist doch f(x0) = y0 . Anscheinend bringst du da was durcheinander.
11.06.2010, 16:31 Anna86 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: minimaler Flächeninhalt, Koordinatenachse, dreieck
Zitat:
Original von klarsoweit
[quote]Original von Anna86
einsetzen der Punkte in die Gleichung:
y0= a*x0 + b

Du mußt dich schon einigen, ob f(x)= ax+ b oder f(x)= -ax+ b sein soll.



Ok, also

y0= -a*x +b
b= y0+a*x

Und nun? verwirrt
12.06.2010, 13:11 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: minimaler Flächeninhalt, Koordinatenachse, dreieck
Also wenn schon, dann:




Jetzt hast du die Länge von einer Seite des Dreiecks. Jetzt brauchst du noch eine weitere Seite. Das ist die Strecke vom Nullpunkt zur Nullstelle der Geraden y = -a*x + b. Für das b kannst du ja schon was einsetzen.
12.06.2010, 14:00 ManuBen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: minimaler Flächeninhalt, Koordinatenachse, dreieck

So dann hat klarsoweit ja schon gesagt, dass die du eine weitere Strecke brauchst, nämlich vom Ursprung zur Nullstelle der Tangente. Die Strecke bezeichne ich jetz mal mit k. So die müsste abhängig sein von a,b und y0.

Das heißt der Flächeninhalt ist .

So dann würde ich ableiten, wobei einmal x0 als konstante und ein andermal y0 als konstante aufgefasst wird. also
1.Fall .
2.Fall .
Wenn man jetz nach einer Extremalstelle sucht komme ich jeweils auf 0=ax0+y0
und das ist nur dann null, wenn sowohl x0 als auch y0 gleich null sind.

Meine Schlussfolgerung daraus ist, dass der Punkte einen unendlich kleinen Abstand zum Ursprung haben muss, es sei denn es gibt einen funktionellen zusammenhang zwischen x0 und y0 also sowas wie y0=x0^2+5
13.06.2010, 09:49 Anna86 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für eure Hilfe!
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13.06.2010, 11:08 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: minimaler Flächeninhalt, Koordinatenachse, dreieck
Zitat:
Original von ManuBen
So dann würde ich ableiten, wobei einmal x0 als konstante und ein andermal y0 als konstante aufgefasst wird. also
1.Fall .
2.Fall .
Wenn man jetz nach einer Extremalstelle sucht komme ich jeweils auf 0=ax0+y0
und das ist nur dann null, wenn sowohl x0 als auch y0 gleich null sind.

Das ist alles ziemlich grober Unfug. x0 und y0 sind die Koordinaten des festen Punktes P und damit sind x0 und y0 Konstanten. Eine Ableitung nach diesen Konstanten verbietet sich von selbst. Hingegen ist die Steigung a der einzige freie Parameter, der die Form des Dreiecks und damit auch die Größe der Fläche beeinflußt. Es geht jetzt erstmal darum, die Koordinaten der Nullstelle zu bestimmen, um darüber eine Formel für die Fläche aufzustellen.

Schade, daß du dich darein gehängt hast. Du kannst auch davon ausgehen, daß ich, wenn es so wäre, wie du beschrieben hast, Anna86 in diese Richtung geführt hätte.
13.06.2010, 12:56 Anna86 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also wenn ich b in die Ausgangsfunktion einsetze bekomme ich:

0= -a*x + ax0 + y0

Nach x auflösen:

x= x0+ (y0/a)


Somit lautet die Gleichung für den Flächeninhalt:

A= 1/2 * ((a*x0 +y0)) *(x0 + y0/a)

Richtig?
13.06.2010, 13:14 Anna86 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich die Formel ausmultipliziere erhalte ich:

A= ax0²/2 + y0x0 + y0²/ 2a
13.06.2010, 14:03 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Die Fläche A ist jetzt eine Funktion von a und muß nun minimiert werden. Ich denke mal, daß du weißt, wie man da vorgehen muß.
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