konvergente Filter, Hausdorff?

11.06.2010, 15:08	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
konvergente Filter, Hausdorff? Ich habe folgendes Problem: Gegeben ist eine Bijektion $\begin{eqnarray} f: (X,T) \to (Y,O) \end{eqnarray}$ mit der Eigenschaft, dass die in Y konvergenten Filter genau die Bilder die in X konvergenten Filter sind (ein Filter heißt konvergent gegen x wenn er feiner als der Umgebungsfilter von x ist). Ich will nun zeigen, dass $\begin{eqnarray} f(U(x)) \end{eqnarray}$ eine Obermenge von $\begin{eqnarray} U(f(x)) \end{eqnarray}$ ist. (Mit $\begin{eqnarray} U(x) \end{eqnarray}$ werde ich immer den Umgebungsfilter von x bezeichnen) Meine Frage: Muss das den überhaupt gelten, wenn nicht zumindest einer der beiden Räume ein Hausdorffraum ist ? ( Ist zumindest ein Raum ein Hausdorff Raum z.B.: $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ , so kann man sich zunächst herleiten, dass das Bild eines Umgebungsfilters immer ein Umgebungsfilter sein muss. Wäre nun $\begin{eqnarray} f(U(x)) = U(y) \end{eqnarray}$ so müsste $\begin{eqnarray} U(f(x)) \end{eqnarray}$ eine echte Obermenge von U(y) sein. Entsprechend wäre dann $\begin{eqnarray} U(z) := f^-1(U(f(x))) \end{eqnarray}$ eine echte Obermenge von $\begin{eqnarray} U(y) \end{eqnarray}$ . Das kann aber in einem Hausdorffraum nicht sein. Noch eine andere Frage, die sich bei dieser Problemstellung ergeben hat: Gibt es einen nicht-Hausdorffraum in dem ein Umgebungsfilter eine echte Obermenge eines anderen Umgebungsfilters sein kann ? Ich hoffe ihr könnt mir hier weiterhelfen. lg Edit: Entschuldigung, da habe ich das falsche Unterforum erwischt, sollte eigentlich in Analysis Eher in "Sonstiges", denn das ist wohl Topologie . system-agent Auch ok, wobei ich denke, dass man so ein Thema durchaus auch zur Analysis rechnen kann (Ist auch eine Ana-Übungsaufgabe). Wie auch immer danke fürs verschieben
14.06.2010, 16:50	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat sich erledigt. Einer der beiden Räume muss tatsächlich die Hausdorffsche Trennungseigenschaft besitzen wie ich mir gedacht habe. Für den anderen Fall stellt eine 2 Elementige Menge {a,b} mit der Topologie {{a}, {a,b}, {leer}} ein Gegenbeispiel dar.

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