Volumenintegral

11.06.2010, 15:29	akasharishi	Auf diesen Beitrag antworten »
Volumenintegral Hallo Es ist das Volumen von $\begin{eqnarray} B=\{(x,y,z)\in R^3\| \|\|x\|\|_1<1\} \end{eqnarray}$ zu berechnen. Man rechnet das für 1 Achtel des Oktaeders aus und multipliziert es dann mit 8. Wie kommt man jedoch auf die Integrationgrenzen. x+y+z<1 ->0<x<1-y-z ist klar aber die Integrationsgrenze über y lautet nur mehr0< y<1-z als wäre das x Null gesetzt worden und bei z wird überhaupt nur mehr von Null bis 1 integriert. Normal setzt man ja als Integrationsgrenze die Ränder des Bereichs in die jeweilige Richtung. Aber wie kommt man drauf? Gruß Rishi
11.06.2010, 16:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Integrationsbereich $\begin{eqnarray} B \cap \text{(I. Oktant)} \end{eqnarray}$ wird durch $\begin{eqnarray} x,y,z \geq 0 \, , \ \ x+y+z \leq 1 \end{eqnarray}$ beschrieben. Jetzt sucht man zunächst einmal diejenigen $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ , für die diese Ungleichungen erfüllbar sind. $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ kann sicher nicht negativ sein, denn das widerspräche $\begin{eqnarray} z \geq 0 \end{eqnarray}$ . Es kann aber $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ auch nicht größer als $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ sein. Denn wie willst du die Summe $\begin{eqnarray} x+y+z \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x,y \geq 0 \end{eqnarray}$ unter $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ drücken, wenn schon $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ größer als $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ ist? Andererseits kannst du für jedes $\begin{eqnarray} z \in [0,1] \end{eqnarray}$ passende $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ finden. Daher ist $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ das Integrationsintervall für $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ , wenn man mit der Integration über $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ beginnt. Hat man nun ein solches $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ fest gewählt, so ist wegen $\begin{eqnarray} x+y+z \leq 1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray} x+y \leq 1-z \end{eqnarray}$ zu lösen. Und wenn du jetzt als nächstes die Integration über $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ nimmst, dann argumentierst du wie gerade eben, nur ist dieses mal die Summe nicht durch $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ nach oben beschränkt, sondern durch $\begin{eqnarray} 1-z \end{eqnarray}$ . Und dann noch die Integration über $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ganz innen.

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