taylorformel bestimmen

11.06.2010, 17:40

analysisisthedevil

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taylorformel bestimmen

diese aufgabe bringt mich um den verstand,ich hab jetz nach 3 stunden rumprobieren endlich mal die richtige 2. ableitung hinbekommen..
das is erst die zweite aufgabe mit taylorformeln die ich mache,auf jedenfall hab ich mal mit ableitngen bestimmen angefangen.
hab aber währenddessen,das gefühl bekommen etwas falsch zu machen.

man bestimme die taylorformel für die funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{sin(x)+1} \end{eqnarray*}$
an der stelle $\begin{eqnarray*} x_{0} = \pi \end{eqnarray*}$
mit dem restglied $\begin{eqnarray*} R_{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{sin(x)+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{cos(x)}{2\sqrt{sin(x)+1} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)= \frac{-sin(x)}{2\sqrt{sin(x)+1} }-\frac{cos^2(x)}{4(sin(x)+1)^{\frac{3}{2}} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=-\frac{sin(x)}{2\sqrt{sin(x)+1} } + \frac{3cos(x)sin(x)}{4(sin(x)+1)^{\frac{3}{2} }} + \frac{3cos^3x}{8(sin(x)+1)^{\frac{5}{2} }} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''''(x)=-\frac{cos(x)}{2\sqrt{sin(x)+1} } - \frac{3sin^2x}{4(sin(x)+1)^{\frac{3}{2} }} + \frac{cos(x)sin(x)}{4(sin(x)+1)^{\frac{3}{2} }} + \frac{3cos^2(x)}{4(sin(x)+1)^{\frac{3}{2} }} - \frac{9cos^2(x)sin(x)}{4(sin(x)+1)^{\frac{5}{2} }} - \frac{15cos^4(x)}{16(sin(x)+1)^{\frac{7}{2} }} \end{eqnarray*}$

während ich die nächsten 7 stunden mit der 3. und der 4. ableitung verbringe,wäre es nett wenn mir jemand sagen kann was ich danach machen soll unglücklich

unglücklich

11.06.2010, 19:18

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Überlegter Einsatz der Additionstheoreme hilft beim Vermeiden exzessiver Rechnungen:

Bekanntlich gilt $\begin{eqnarray*} 1+\cos(t) = 2\cos^2\left( \frac{t}{2} \right) \end{eqnarray*}$ .

Nun ist $\begin{eqnarray*} \sin(x) = \cos\left( x - \frac{\pi}{2} \right) \end{eqnarray*}$ , also folgt ...

11.06.2010, 19:23

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Überlegter Einsatz der Additionstheoreme hilft beim Vermeiden exzessiver Rechnungen:

Bekanntlich gilt $\begin{eqnarray*} 1+\cos(t) = 2\cos^2\left( \frac{t}{2} \right) \end{eqnarray*}$ .

Nun ist $\begin{eqnarray*} \sin(x) = \cos\left( x - \frac{\pi}{2} \right) \end{eqnarray*}$ , also folgt ...

ok,ich schaus mir mal an ,ich hab übrigens die aufgabenstellung aktualisiert,hab da ein wenig vergessen.

11.06.2010, 19:25

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Alternativ könntest du auch mal ernsthaft versuchen, $\begin{eqnarray*} f''(x) \end{eqnarray*}$ zu vereinfachen:

Da kommt nämlich $\begin{eqnarray*} f''(x) = -\frac{1}{4} f(x) \end{eqnarray*}$ heraus, was die restlichen Ableitungen praktisch erledigt.

11.06.2010, 19:31

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Alternativ könntest du auch mal ernsthaft versuchen, $\begin{eqnarray*} f''(x) \end{eqnarray*}$ zu vereinfachen:

Da kommt nämlich $\begin{eqnarray*} f''(x) = -\frac{1}{4} f(x) \end{eqnarray*}$ heraus, was die restlichen Ableitungen praktisch erledigt.

ich bin grad ernsthafz zu doof auf eigene faus zu sehen,was ich da noch vereinfachen kann

11.06.2010, 19:34

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Ersetze $\begin{eqnarray*} \cos^2(x)=1-\sin^2(x) \end{eqnarray*}$ in deiner $\begin{eqnarray*} f'' \end{eqnarray*}$ -Formel, dann alles auf einen Nenner bringen, den Zähler geeignet faktorisieren (Binom!) und kürzen.

Sollte doch möglich sein, jetzt, wo du doch schon das Ergebnis kennst.

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11.06.2010, 19:36

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Ersetze $\begin{eqnarray*} \cos^2(x)=1-\sin^2(x) \end{eqnarray*}$ in deiner $\begin{eqnarray*} f'' \end{eqnarray*}$ -Formel, dann alles auf einen Nenner bringen, den Zähler geeignet faktorisieren (Binom!) und kürzen.

Sollte doch möglich sein, jetzt, wo du doch schon das Ergebnis kennst.

ui,das is ja der trigonometrische pythagoras..

man bestimme die taylorformel für die funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{sin(x)+1} \end{eqnarray*}$
an der stelle $\begin{eqnarray*} x_{0} = \pi \end{eqnarray*}$
mit dem restglied $\begin{eqnarray*} R_{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{sin(x)+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{cos(x)}{2\sqrt{sin(x)+1} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)= \frac{-sin(x)}{2\sqrt{sin(x)+1} }-\frac{cos^2(x)}{4(sin(x)+1)^{\frac{3}{2}} }= \frac{-sin(x)}{2\sqrt{sin(x)+1} }-\frac{1-sin^2(x)}{4(sin(x)+1)^{\frac{3}{2}} }= \frac{2\sqrt{sin(x)+1}(-sin(x)-1) }{8(sin(x)+1)} =\frac{-1}{4} \sqrt{sin(x)+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=- \frac{cos(x)}{4\sqrt{sin(x)+1} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''''(x)=-\left(\frac{-sin(x)8\sqrt{sin(x)+1}- (\frac{8cos^2(x)}{2\sqrt{sin(x)+1} } )}{64(sin(x)+1)} \right) \end{eqnarray*}$

11.06.2010, 19:58

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Nochmal alles geordnet kann man die Kernidee übrigens in einer einzigen Zeile schreiben:

$\begin{eqnarray*} \sin(x) + 1 = 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) = \left( \cos\left(\frac{x}{2}\right) + \sin\left(\frac{x}{2}\right) \right)^2 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.06.2010, 20:15

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Nochmal alles geordnet kann man die Kernidee übrigens in einer einzigen Zeile schreiben:

$\begin{eqnarray*} \sin(x) + 1 = 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) = \left( \cos\left(\frac{x}{2}\right) + \sin\left(\frac{x}{2}\right) \right)^2 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

das is glaub zu hoch für mich.

vorrausgesetz die doofen ableitungen stimmen nun,muss ich jetz irgendwie die eigentliche aufgabe hinbekommen

man bestimme die taylorformel für die funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{sin(x)+1} \end{eqnarray*}$
an der stelle $\begin{eqnarray*} x_{0} = \pi \end{eqnarray*}$
mit dem restglied $\begin{eqnarray*} R_{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{sin(x)+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{cos(x)}{2\sqrt{sin(x)+1} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)= \frac{-sin(x)}{2\sqrt{sin(x)+1} }-\frac{cos^2(x)}{4(sin(x)+1)^{\frac{3}{2}} }= \frac{-sin(x)}{2\sqrt{sin(x)+1} }-\frac{1-sin^2(x)}{4(sin(x)+1)^{\frac{3}{2}} }= \frac{2\sqrt{sin(x)+1}(-sin(x)-1) }{8(sin(x)+1)} =\frac{-1}{4} \sqrt{sin(x)+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=- \frac{cos(x)}{8\sqrt{sin(x)+1} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''''(x)=\frac{sin(x)}{8\sqrt{sin(x)+1} } + \frac{cos^2(x)}{16(sin(x)+1)^{\frac{3}{2} }} \end{eqnarray*}$

11.06.2010, 21:57

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Du machst es dir unnötig schwer: Wenn du bereits weißt, dass $\begin{eqnarray*} f''(x) = -\frac{1}{4}f(x) \end{eqnarray*}$ ist, dann folgt doch unmittelbar

$\begin{eqnarray*} f'''(x) = (f''(x))' = \left( -\frac{1}{4}f(x) \right)' = -\frac{1}{4} f'(x) \end{eqnarray*}$

und so weiter, und so fort - da musst du dich doch nicht mehr mit den Quotientenableitungen abquälen.

11.06.2010, 22:03

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Du machst es dir unnötig schwer: Wenn du bereits weißt, dass $\begin{eqnarray*} f''(x) = -\frac{1}{4}f(x) \end{eqnarray*}$ ist, dann folgt doch unmittelbar

$\begin{eqnarray*} f'''(x) = (f''(x))' = \left( -\frac{1}{4}f(x) \right)' = -\frac{1}{4} f'(x) \end{eqnarray*}$

und so weiter, und so fort - da musst du dich doch nicht mehr mit den Quotientenableitungen abquälen.

jo,ich war mir eignetlich auch sicher,dass ich da irgendwas nich so richtig mache.
jetz brauch ich nur noch jemanden der mir die eigentliche aufgabe näher bringen kann.

12.06.2010, 18:14

analysisisthedevil

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fast hab ich verdrängt das ich die aufgabe immernoch nich gelöst hab,jemand da der sich mit quälen will??

12.06.2010, 18:20

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Ich bestimmt nicht mehr, da sich die Sache wegen

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\sin(x)+1} = \cos\left(\frac{x}{2}\right) + \sin\left(\frac{x}{2}\right) \end{eqnarray*}$

zumindest für $\begin{eqnarray*} |x| \leq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ (vgl. oben) für mich eigentlich schon erledigt hat, und zwar als Summe zweier allseits bekannter Taylorreihen.

12.06.2010, 19:04

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Ich bestimmt nicht mehr, da sich die Sache wegen

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\sin(x)+1} = \cos\left(\frac{x}{2}\right) + \sin\left(\frac{x}{2}\right) \end{eqnarray*}$

zumindest für $\begin{eqnarray*} |x| \leq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ (vgl. oben) für mich eigentlich schon erledigt hat, und zwar als Summe zweier allseits bekannter Taylorreihen.

aha.... bahnhof Hammer

Hammer

kann man das ein wenig kindgerechter formulieren?

12.06.2010, 19:12

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Nein.

12.06.2010, 19:19

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Nein.

ok,dann muss ich glaub ich noch ein wenig zeit verbringen mit dem kram oder es am besten vernachlässigen.ich hab das nämlich gar nicht kapiert

12.06.2010, 19:22

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Was bitte ist denn an

$\begin{eqnarray*} \sin(x) + 1 = 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) \end{eqnarray*}$

nicht nachvollziehbar? Beim ersten Summanden das bekannte Doppelwinkel-Additionstheorem, beim zweiten Summanden 1 einfach der trigonometrische Pythagoras. Wenn du dir keine Mühe gibst, dann kann ich dir auch nicht mehr helfen.

12.06.2010, 19:25

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Was bitte ist denn an

$\begin{eqnarray*} \sin(x) + 1 = 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) \end{eqnarray*}$

nicht nachvollziehbar? Beim ersten Summanden das bekannte Doppelwinkel-Additionstheorem, beim zweiten Summanden 1 einfach der trigonometrische Pythagoras. Wenn du dir keine Mühe gibst, dann kann ich dir auch nicht mehr helfen.

naja,jetz wo du es sagst,kann ich es übrigens nachvollziehen Wink

Wink

zumindest den ausdruck über mir

12.06.2010, 19:29

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Die anschließende Umformung geschieht gemäß binomischer Formel, die sollte eigentlich auch bekannt sein.

12.06.2010, 19:36

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Die anschließende Umformung geschieht gemäß binomischer Formel, die sollte eigentlich auch bekannt sein.

jo,das is auch logisch,nur ich seh so sachen oft nich sofort.

$\begin{eqnarray*} sin(x)+1=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) = \left( \cos\left(\frac{x}{2}\right) + \sin\left(\frac{x}{2}\right) \right)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sqrt{\left( \cos\left(\frac{x}{2}\right) + \sin\left(\frac{x}{2}\right) \right)^2} =\sqrt{sin(x)+1}= \cos\left(\frac{x}{2}\right) + \sin\left(\frac{x}{2}\right) \end{eqnarray*}$

also das ,ich mir die ableitungsorgie jetz sparen kann,seh ich.nur wie gesagt,die eigentliche aufgabe hab ich ja im prinzio immernoch noich angefangen

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