Konditionszahl/invert.Matrizen

01.11.2006, 17:45

20_Cent

Konditionszahl/invert.Matrizen

Ich hab hier noch eine Aufgabe:

Zitat:

Die Euklidische Norm ist $\begin{eqnarray*} \| x \|_2 := \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ . Dazu ist die induzierte Matrixnorm definiert als $\begin{eqnarray*} \| A \|_2 := \sup_{0 \neq x \in \mathbb R^n} \frac{\| Ax \|_2}{\| x \|_2} \end{eqnarray*}$ .

Die Konditionszahl $\begin{eqnarray*} \kappa_2(A) \end{eqnarray*}$ ist definiert als $\begin{eqnarray*} \| A \|_2 \cdot \| A^{-1} \|_2 \end{eqnarray*}$ .

Zeige, dass für eine invertierbare Matrix $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb R^{n \times n} \end{eqnarray*}$ die Identität

$\begin{eqnarray*} \kappa_2(A)=\frac{ \| A \|_2}{\min{\{ \| B \|_2 : A+B \mbox{ ist nicht invertierbar} \}}} \end{eqnarray*}$

Es ist also eigentlich zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \| A^{-1} \|_2 = \frac{1}{\min{\{ \| B \|_2 : A+B \mbox{ ist nicht invertierbar} \}}} \end{eqnarray*}$ gilt.

Leider habe ich auch hier überhaupt keinen Ansatz, wäre schön, wenn mir jemand einen kleinen Tipp geben könnte.
mfG 20

01.11.2006, 18:10

mathemaduenn

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Hallo 20_cent,
Eine Idee wäre zunächst das Störungslemma. Zumindest sollte daraus die Aussage folgen das für B's mit kleinerer Norm A+B invertierbar sein muß.
viele Grüße
mathemaduenn

01.11.2006, 18:13

20_Cent

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Ich hab leider keinerlei Vorraussetzungen, das Störungslemma kenn ich nicht.
mfg 20

01.11.2006, 18:37

mathemaduenn

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Hallo nochmal,
Störungslemma
1.Teil
Sei ||P||<1 dann muß
I-P regulär sein wg. $\begin{eqnarray*} ||(I-P)x|| \ge | ||x||-||Px|| | \ge ||x|| -||P|| *||x||=(1-||P||)||x|| \end{eqnarray*}$ kann (I-P)x nicht Null sein wenn x nicht null ist.

2. Teil
P=A^-1 *B
A+B ist regulär gdw. A(I+P) regulär gdw. I-P regulär
ist also $\begin{eqnarray*} ||p|| \le ||A^{-1}||*||B||<1 \end{eqnarray*}$ 1 so ist A+B regulär.
Jetzt brauchst Du nur noch eine Matrix für die A+B nicht regulär ist und die entsprechende Norm hat. Das würde ich über eine Singulärwertzerlegung von A versuchen.
viele Grüße
matheamduenn

01.11.2006, 18:44

20_Cent

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gut, ich gucks mir mal an... weiß aber nicht, ob ich das verstehe Augenzwinkern

mfg 20

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