Affiner Typ von Quadriken

12.06.2010, 13:09

Majin_Clodan

Affiner Typ von Quadriken

Hi Leute!

Ja, es kommt nun noch eine weitere Frage. Schwieriges Übungsblatt diesmal.^^'

Also in einer Aufgabe soll ich die affinen Typen von Quadriken bestimmen. Hier sind unsere Quadrik-Typen wie folgt definiert:

Typ 1(Kegelartiger Quadrik): $\begin{eqnarray*} \{ x \in \mathbb R \ | \ w_1^2 + ... + w_r^2 - w_{r+1}^2 - ... - w_{r+s}^2 = 0\} \end{eqnarray*}$
Typ 2(Mittelpunkts-Quadrik): $\begin{eqnarray*} \{ x \in \mathbb R \ | \ w_1^2 + ... + w_r^2 - w_{r+1}^2 - ... - w_{r+s}^2 = 1\} \end{eqnarray*}$
Typ 3(parabolischer Quadrik): $\begin{eqnarray*} \{ x \in \mathbb R \ | \ w_1^2 + ... + w_r^2 - w_{r+1}^2 - ... - w_{r+s}^2 = x_n\} \end{eqnarray*}$

In meiner Aufgabe hatten wir beispielsweise den folgenden Quadrik gegeben:
Q: 4x² + y² - z³ - 16x - 8y + 32 = 0

Diesen formte ich dann in die folgende Form um:
(2x - 4)² + (y - 4)² - z³ = 0

Aufgrund dessen, dass jeder Summand auf der linken seite quadriert wird und die rechte seite den Wert "0" hat, habe ich geschlussfolgert, dass dieses Quadrik vom Typ 1 ist.

Meine Frage hierzu wäre jetzt:
Ist das richtig, wie man das macht d.h. habe ich nur so schon gezeigt, dass der Quadrik von einem bestimmten Typ ist (in diesem Fall Typ 1)? Ich frage deshalb, da ich von einem anderen Quadrik den affinen Typ berechnen soll, aber hierbei komm ich auf keinjen Typen. Dieser Quadrik sieht wie folgt aus:

-x² + y² + 2z² + 4xy + 4xz + 4xy + 2 = 0

Also wie gesagt, kann man den Quadriken so bestimmen, wie ich das oben machte? Falls ja, könnt ihr mir einen Tipp geben, wie ich bei dem zweiten Quadriken anfgangen könnte? Wie gesagt, ich komme auf keinen Quadrik-Typen. unglücklich

Falls das aber alles Käse ist (obwohl ich Käse mag Big Laugh

), wie ich den ersten Quadrik bestimmte, dann wäre es supi, wenn ihr mir sagen könntet, wie ich den Typen berechnen könnte. smile

Vielen Dank schonmal im vorraus. smile

Wäre echt supi, wenn ihr mir helfen könnt. smile

MFG Majin_Clodan

13.06.2010, 00:50

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RE: Affiner Typ von Quadriken
Bist du dir sicher, dass du da ein z^3 hast?
Warum sollte das überhaupt eine Quadrik sein?

Beim zweiten Problem würde mich interessieren, wie ihr so etwas denn sonst berechnet. Ich habe das über zum Problem assoziierte affine Matrizen gelernt, die man dann - mehr oder weniger - durchgegaußt hat.

Gruß
MI

13.06.2010, 11:21

Wichtelmaus

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Hallöchen. Wink

Ich habe ebenfalls die selbe Aufgabe zu lösen und finde es gut, dass ich nicht die einzige bin, die daran hängen bleibt...

Also die richtige Quadrik heißt:

$\begin{eqnarray*} 4x_1^2 + x_2^2 - x_3^2 - 16x_1 - 8x_2 + 32 = 0 \end{eqnarray*}$

Ich bin so vorgegangen, dass ich erst eine Matrix aufgestellt habe, so dass ich die Form $\begin{eqnarray*} x^TAx + b^Tx + c \end{eqnarray*}$ erhalte. Da habe ich nun erhalten:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -16 & -8 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} +32 = 0 \end{eqnarray*}$

Nun könnte ich doch hieraus die Matrix aufstellen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 32 & -16 & -8 & 0 \\ -16 & 4 & 0 & 0 \\ -8 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich würde nun mit dem symmetrischen Gaußverfahren weiter rechnen. Aber vorerst wollte ich fragen, ob ich die Matrix richtig aufgestellt habe ? Wenn nicht, kann mir jemand sagen, wann ich wo was falsch rechne ?

Danke schon mal im Voraus. smile

Mit freundlichen Grüßen die Wichtelmaus

13.06.2010, 18:42

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Matrix dürfte eigentlich stimmen, wenn ich das jetzt richtig sehe - allerdings war die bei uns immer in einer anderen Reihenfolge, (unten rechts stand das Element ohne x), aber das dürfte ja keine Rolle spielen.

Gruß
MI

13.06.2010, 21:31

Wichtelmaus

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Zitat:

MI schrieb:

Matrix dürfte eigentlich stimmen, wenn ich das jetzt richtig sehe - allerdings war die bei uns immer in einer anderen Reihenfolge, (unten rechts stand das Element ohne x)

Wie meinst du das ? verwirrt

Also wir haben als Vorlage diese Matrix immer benutzt: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} c & b^T \\ b & A \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , deshalb habe ich das auch so aufgestellt.

Mit freundlichen Grüßen die Wichtelmaus

13.06.2010, 23:35

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Nein, ich sagte ja, dass das meiner Meinung nach korrekt sei. Ich war nur ein wenig verwirrt, weil ich das System eben nicht sofort wiedererkannt habe, da wir eben immer
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} A & b \\ b^T & c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
hatten - aber das spielt ja keine Rolle.

Gruß
MI

14.06.2010, 19:14

Wichtelmaus

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Ah ok.

Also ich habe nun durch das symmetrische Gaußverfahren diese Diagonalmatrix erhalten:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -224 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jedoch weiß ich nicht, wie ich nun den affinen Typ mit dieser bestimme... verwirrt

Kann mir da jemand weiter helfen ? Wäre echt supi. smile

Mit freundlichen Grüßen die Wichtelmaus

15.06.2010, 15:11

Wichtelmaus

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Mir ist gerade aufgefallen, dass ich mich bei dem Gaußverfahren verrechnet habe. Hammer

Die Diagonalmatrix müsste lauten:

$\begin{eqnarray*} A' = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und ich habe jetzt immer den Rang der Matrix $\begin{eqnarray*} A' \end{eqnarray*}$ und mit dem der Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ verglichen, da man so auch den affinen Typ bestimmen kann. Augenzwinkern

Mit freundlichen Grüßen die Wichtelmaus

15.06.2010, 18:28

Reksilat

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Du hättest ja noch dazu sagen können, dass die obige Matrix (in Deinem ersten Beitrag) falsch war und die zur Quadrik gehörige so lautet:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 32 & -8 & -4 & 0 \\ -8 & 4 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
smile

Zur Bestimmung des Typs ist jetzt aber nicht allein der Rang ausschlaggebend, denn die Vorzeichen der Diagonalelemente spielen auch noch eine Rolle. Entweder man kann sich die Form nun vorstellen/zeichnen, oder man schaut in einer passenden Klassifikationstabelle nach.

Gruß,
Reksilat.

15.06.2010, 19:53

Wichtelmaus

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Ja genau, mit dieser Matrix rechnete ich. Augenzwinkern

Nächstes Mal denk ich dran. smile

Mit freundlichen Grüßen

die Wichtelmaus

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