Minimalpolynom eines Endomorphismus'

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Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
Minimalpolynom eines Endomorphismus'
Hallo,

ich möchte für den Endomorphismus



das Mimimalpolynom bestimmen. Im ersten Teil der Aufgabe sollten wir die ersten paar Potenzen von bestimmen. Ich nenne jetzt der Übersichtlichkeit halber mal



Dann ist







Dieses Minimalpolynom soll ja der normierte Erzeuger des Kerns des Einsetzungshomomorphismus'



sein. Dieser Kern ist ja ein Ideal. Ich hatte jetzt, da zu sein scheint, einfach mal angesetzt



Dann wäre ja



Nun habe ich für alle echten Teiler von g das Ganze auch durchprobiert, denn ein etwaiges kleineres Minimalpolynom müsste ja g teilen, oder?



Bei allen ergab sich ein Resultat ungleich null (kann man ja eigentlich alles oben ablesen). Ist damit



das Minimalpolynom von F?

Ist das so richtig? Das war ja jetzt irgendwie nur durch probieren (aber darauf zielte die Aufgabe wohl auch ab, weil man die Potenzen eben mal von Hand berechnen sollte). Geht das auch schematischer oder macht man das generell so? Wir sind gerade mit dem Thema angefangen, vielleicht kommt das dann ja später noch... ?

Danke für Rückmeldungen. Wink
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Normalerweise bestimmt man das charakteristische Polynom mit und untersucht dann mit Gradreduzierung wann der Endomorphismus eingesetzt noch 0 ergibt. Wobei mir für die Determinante eines Endomorphismus nichts anderes einfällt als es eine isomorphe Matrix zu der Standardbasis (der Einfachheitshalber) und davon eben die Determinante zu nehmen.
Und sieht richtig aus.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IfindU
Normalerweise bestimmt man das charakteristische Polynom mit und untersucht dann mit Gradreduzierung wann der Endomorphismus eingesetzt noch 0 ergibt.

Ah ja... der Prof hatte das am Beispiel einer einfachen quadratischen Matrix auch gemacht, ich hatte jetzt aber Probleme, das auf so einen gegebenen Endomorphismus zu übersetzen...

Man müsste also zu F bezüglich einer Basis nach Wahl (wobei die kanonische Basis dann wohl am einfachsten wäre) die Abbildungsmatrix bestimmen und die dann verwenden? Bzw. deren charakteristisches Polynom?

Also teilt das Minimalpolynom immer auch das charakteristische Polynom...
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe es stimmt was ich gesagt habe, da wir uns bisher praktisch nur mit Matrizen beschränkt haben. Wenn ich recht habe, müsste es so gehen Augenzwinkern

Hab mir den Endomorphismus angesehen und mit der Standardbasis dargestellt ergibt es eine obere Dreiecksmatrix mit nur einem Eintrag auf der Diagonale. So kann man das Charakteristische Polynom direkt angeben, allerdings ist es um Grad 3 größer als das Minimalpolynom, dann hat man einiges Try&Error vor sich..
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Macht ja wohl halbwegs Sinn. Danke dir! Wink
Tarnfara Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IfindU
allerdings ist es um Grad 3 größer als das Minimalpolynom, dann hat man einiges Try&Error vor sich..


Eigentlich nicht:



Das Minimalpolynom ist ein Teiler des charakteristischen Polynoms, also gilt:

, da t-1 und t Primpolynome sind.

Wegen der Primärzerlegung in F-invariante Unterräume, ist nun bereits klar, dass wir nur noch berechnen müssen, für welches k ist.


Nun hat Mukler ja schon ausgerechnet, dass





Daraus folgt doch unmittelbar, dass , denn ab k = 3 verändert sich der Kern von nicht mehr und ist somit maximal.


Allgemein lassen sich Minimalpolynome durch das Krylowverfahren (per Algorithmus) berechnen.
 
 
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