Polynom einer Matrix

12.06.2010, 14:39

NastyNat

Polynom einer Matrix

Meine Frage:
Sei A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} i & -i & 1 \\ i & i & i \\ 1 & -i & i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aus dem endl. dim. Körper der komplexen Zahlen.
Zu bestimmen ist ein Polynom mit p(A)=A*, wobei A* die transponierte komplex konjugierte Matrix von A ist.

Meine Ideen:
Es gilt: A*= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -i & -i & 1 \\ i & -i & i \\ 1 & -i & -i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Und p(A):= $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n a_k A^k = a_0+a_1A+a_2A^2...a_nA^n \end{eqnarray*}$ mit ai aus C.
Es gilt $\begin{eqnarray*} A^2=AA^*=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =A^*A =A^4=A^6... \end{eqnarray*}$ für gerade n
und $\begin{eqnarray*} A^3=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=A^5=A^7... \end{eqnarray*}$ für ungerade n.

Doch nun weiß ich nicht ob das überhaupt stimmt und wenn ja, wie es weitergehen soll, und komme einfach nicht auf das Gewünschte.

Kann mir jemand helfen?

12.06.2010, 14:51

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Zitat:

Original von NastyNat
Es gilt $\begin{eqnarray*} A^2=AA^* \end{eqnarray*}$

Also der Teil stimmt schon mal nicht.

Zitat:

Original von NastyNat
Und $\begin{eqnarray*} p(A):=\sum\limits_{k=1}^n a_k A^k = a_0+a_1A+a_2A^2...a_nA^n \end{eqnarray*}$ mit ai aus C.

Nicht ganz, sondern

$\begin{eqnarray*} p(A):=\sum\limits_{k=0}^n a_k A^k = a_0E+a_1A+a_2A^2...a_nA^n \end{eqnarray*}$

mit Einheitsmatrix $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ .

In dem Zusammenhang: Ist dir aufgefallen, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A^* \end{eqnarray*}$ außerhalb der Diagonalen übereinstimmen? Berechne doch mal die Differenz $\begin{eqnarray*} A^*-A \end{eqnarray*}$ ...

12.06.2010, 15:47

NastyNat

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Super, danke Hammer

manchmal sieht man die einfachsten sachen nicht.

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