Additionstheoreme

12.06.2010, 16:58

Kääsee

Additionstheoreme

Hi,
ich versuche gerade, mir die Additionssätze beizubringen, die stehen nämlich irgendwie nicht auf unserem Lehrplan, aber meine Mathelehrerin meinte, dass sie trotzdem manchmal ganz hilfreich sein können und wer will, kann sie sich mal anschauen.
2 Seiten Aufgaben hab ich schon durch, aber jetzt scheitere ich an dieser:

Zitat:

Zeige, dass für alle Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha + \beta \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \sin(\alpha)+\sin(\beta)=2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) \end{eqnarray*}$

Ich habe schon so einige Umformungen versucht, hat aber alles nichts gebracht...
Wenn ich links beginne, komme ich zu

$\begin{eqnarray*} 2\left(\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)+\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)\right) \end{eqnarray*}$

Weiter komme ich irgendwie nicht unglücklich

Vielleicht hab ich auch schon ganz falsch angefangen...
Kann mir jemand weiterhelfen?

12.06.2010, 17:02

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Zunächst mal müssen wir uns auf eine Wissens-Basis einigen, z.B.

$\begin{eqnarray*} \sin(x+y) = \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y) \qquad (*) \end{eqnarray*}$

(Ich hab an anderer Stelle hier im MB mal gesagt, dass sich eigentlich jedes Additionstheorem auf mehr oder weniger kurzem Weg aus (*) herleiten lässt, natürlich in Verbindung mit den grundlegenden Eigenschaften der Winkelfunktionen wie Symmetrie und Periodizität.)

Können wir also auf (*) aufbauen?

12.06.2010, 17:08

Kääsee

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Ja, ich habe * auch schon benutzt Augenzwinkern

:

$\begin{eqnarray*} \sin(\alpha)=\sin\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}\right)=...=2\sin\left(\frac{a}{2}\right)\cos\left(\frac{a}{2}\right) \end{eqnarray*}$

Das gleiche dann noch mit $\begin{eqnarray*} \sin(\beta) \end{eqnarray*}$ und so bin ich dann zu meinem Schritt gelangt..

12.06.2010, 17:12

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Da nutzt du $\begin{eqnarray*} \alpha = \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \beta = \frac{\beta}{2} + \frac{\beta}{2} \end{eqnarray*}$ .

Wenn du aber mal auf die rechte Seite der nachzuweisenden Identität schaust, da stehen da $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha+\beta}{2} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha-\beta}{2} \end{eqnarray*}$ . Also solltest du dir eher Gedanken machen, wie man $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ als Summe bzw. Differenz dieser anderen Terme darstellen kann...

12.06.2010, 17:29

Kääsee

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$\begin{eqnarray*} \beta=\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\alpha-\beta}{2} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \alpha=\frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{\alpha-\beta}{2} \end{eqnarray*}$

?

12.06.2010, 17:30

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Genau - und nun wieder mal (*) "anwerfen" ! Augenzwinkern

12.06.2010, 17:32

Kääsee

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Ok, ich hab das Ergebnis. Mein Gott, war ich blöd Big Laugh

Danke fürs Helfen Mit Zunge

09.12.2010, 10:52

Linchen_91

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Hilfe?
Hallo, ich habe probiert es zu verstehen, wie ihr darauf schliesst, doch leider schein ich es nicht zu verstehen, brauche aber dringend die Herleitung (Abi - Aufgabe), sonst kann ich nicht weiter arbeiten.

Ich danke euch jetzt schon unendlich doll für eure Hilfe

lg

09.12.2010, 17:35

Kääsee

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Dann sag uns doch mal genau, was du nicht verstehst Augenzwinkern

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